Приклади розв’язання задач лінійного програмування графічним методом

Приклад 1. Знайти максимум і мінімум лінійної форми

Z=2x₁+x₂

при таких обмеженнях:

Побудуємо область L допустимих розв’язків. Для цього спочатку необхідно побудувати області розв’язків кожного обмеження-нерівності задачі. Після цього знайдемо перетин цих областей, який і дасть область L.

Замінимо в кожному з обмежень задачі знак нерівності на знак рівності. Одержимо рівняння прямих, що розмежують площину на дві напівплощини, точки однієї з яких відповідають розв’язанню нерівності:

Для того, щоб визначити, точки якої з напівплощин задовольняють даній нерівності, беремо будь-яку точку площини, наприклад точку O(0,0), і підставляємо її координати в нерівність. Якщо виявиться, що нерівність задовольняється, то всі точки площини, що лежать з тієї сторони від прямої, що і обрана, утворюють множину розв’язків відповідної нерівності. Якщо ж нерівність не виконується, то точки з протилежної від прямої площини утворять множину розв’язків даної нерівності. Будемо штрихувати ту сторону прямої, що звернена до відповідної множини розв’язків. Крім того, будемо також вказувати стрілками напрям таких множин розв’язків.

Для прикладу область розв’язків L знаходиться як показано на рис. 9. (область допустимих розв’язків визначається як спільна частина напівплощин, що відповідають заданим обмеженням. Вона в цьому випадку є опуклим многокутником ABDEFK.

Для пошуку екстремумів будуємо розв’язну пряму, прирівнюючи лінійну форму до нуля: Z=2x₁+x₂=0. Крім цього, будуємо градієнт C=(2;1) цільової функції.

Очевидно, що максимальне значення функція приймає у вершині (крайній точці) Е многокутника L, а мінімальне - у точці А. Координати цих точок знайдемо як перетин відповідних прямих. Так, точка А - точка перетину прямих:

x₁+x₂=1, x₁=0.

Очевидно, А(0;1)=X_min(0;1), Z _min=2.0+1=1.

Аналогічно можна одержати координати точки Е, вирішивши спільно друге і третє рівняння:

x₁=3, 3x₁+2x₂=12, E(3;1.5)=X_max(3;1.5),

Z_max=23+1.5=7.5.

Приклад 2. Знайти максимум і мінімум лінійної форми

Z=x₁+3x₂

при обмеженнях:

Побудуємо область L допустимих розв’язків. Замінимо в кожному обмеженні задачі знак нерівності на знак рівності. Одержимо такі рівняння прямих:

О бласть допустимих розв’язків L визначається як спільна частина напівплощин, які відповідають нерівностям. Вона являє собою необмежену область (рисунок 10).

Для пошуку екстремумів будуємо розв’язну пряму, прирівнюючи лінійну форму до нуля: Z=x₁+3x₂=0. Будуємо градієнт C(1;3) цільової функції.

Мінімальне значення функція Z приймає у вершині A, координати якої відповідають точці перетину прямих:

3x₁+5x₂=15; x₂=1.

Розв’язуючи систему рівнянь, отримаємо:

A(10/3;1)=X_min(10/3;1), Z_min=10/3+3.1=6 .

Область допустимих розв’язків L необмежена, лінійна форма Z необмежено зростає і максимуму не має.