Лабораторна робота 6
МЕТОДИ ВИПАДКОВОГО ПОШУКУ РОЗВ’ЯЗАННЯ
Багатовимірних задач оптимізації
Мета роботи: набути практичних навичок пошуку на ЕОМ умовного екстремуму функції багатьох змінних методом випадкового пошуку з перерахунком.
Порядок виконання роботи
1 Ознайомтеся з методикою, наведеними програмами і прикладом розв’язання задачі мінімізації функції методом випадкового пошуку.
2 Опишіть роботу алгоритму методу випадкового пошуку.
3 Напишіть підпрограму-функцію MODEL для заданої функції (див. табл. 11).
4 Виберіть вихідні дані для розв’язання задачі мінімізації функції трьох змінних (табл. 13, 14).
5 Складіть програму оптимізації функції, використавши процедуру SLPOISK. В програмі передбачте відтворення траєкторії пошуку мінімуму в координатах x1О x2, x1О x3, x2О x3.
6 Налагодьте програму і виконайте розрахунки на ЕОМ.
Загальні вказівки
В основу методів випадкового пошуку покладені елементи випадковості в процедуру формування пробних точок, що визначають напрямок пошуку. При цьому не потрібно прикладати значні зусилля для розрахунку розташування пробних точок. Просування до мінімуму здійснюється на основі мінімальної інформації, яку досить просто отримати. Найбільш ефективним є застосування алгоритмів випадкового пошуку для мінімізації функцій з великою кількістю змінних та функцій з багатьма локальними екстремумами.
Алгоритм методу випадкового пошуку з перерахунком
Ітераційна процедура мінімізації функції f(X) за допомогою цього алгоритму задається виразом
(20)
де k - крок пошуку; S - вектор масштабних коефіцієнтів; = (1, 2, ..., n ) - випадковий вектор з рівномірним законом розподілу в інтервалі [-1;1].
Обчислювальний алгоритм для i-го компонента вектора параметрів що оптимізуються записують в такому вигляді:
(21)
Елементи si вектора S (масштабні коефіцієнти) знаходять із співвідношення
si
=
,
i=
,
де ximin, ximax - обмеження на параметри що оптимізують знизу і зверху. Константу b для визначення масштабних коефіцієнтів необхідно вибирати так, щоб si 1, тобто з умови
b
=
(ximax
- ximin).
(22)
Якщо в процесі пошуку мінімуму який-небудь з компонентів xi вектора параметрів що оптимізуються Х виходить за припустимі межі, тобто xi > ximax або x < ximin, то цьому компоненту присвоюється граничне значення:
(23)
Завдяки умові (23) забезпечується пошук уздовж границі області параметрів при порушенні обмежень.
Якщо при оптимізації пошукова точка виходить за межі припустимої області, тобто X>Xmax або X<Xmin, то цей крок вважається невдалим, а значення всіх компонентів вектора що оптимізується покладають рівними граничним. Якщо на якій-небудь ітерації робиться підряд m невдалих спроб, то крок пошуку зменшується в r разів (r>1): k+1 = k / r. Якщо в процесі пошуку на якій-небудь ітерації виявиться, що для всіх m пробних кроків функція що мінімізується не убуває, то крок пошуку також зменшують: k+1 = k / r.
Процес оптимізації припиняється, якщо виконується умова k < min (min - константа, що визначає закінчення оптимізації при досягненні заданої точності).