20 Понятие совершенной конъюнктивной нормальной формы и совершенной дизъюнктивной нормальной формы. Способы построения.

Элементарными конъюнкциями называются конъюнк­ции переменных или их отрицаний, в которых каждая переменная встречается не более одного раза. Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) называется формула, имеющая вид дизъюнкции элементарных конъюнкций. Соотношение (3.19) показывает, что ДНФ функции может быть не единственной.

Идемпотентность:

а) хх=х, б) х\/х=х. (3.11)

Двойное отрицание:

x=x. (312)

Свойства констант:

а)х&1=х; б) x&0=0; B) x1=1; (3.13)

r)x\/0=x; д) 0=.1; е)1=0.

Правила де Моргана:

а) x₁ х₂ =x₁ x₂; б) х₁  x₂ == x₁ x₂. (3.14)

Закон противоречия;

хх=0. (3.15)

Закон «исключенного третьего»:

х\/х=1. (3.16)

Приведение к ДНФ делается так. Сначала, с помощью | (3.12) и правил де Моргана (3.14) все отрицания «спускаются» до переменных. Затем раскрываются скобки, с помощью (3.11), (3.15) и (3.16) удаляются лишние конъюнкции и повторения переменных в

конъюнкциях, а с помощью (3.13) удаляются константы.

Пример 3.2

xy\/x(y\/xz)(x(y\/z)\/yz)=xy\/(xy\/ххz)_(х\/(уz))yz=_ху\/ху (хуz)(у\/z)=ху(xy)yyzxzyz)=xухyz=y(x\/хz) =xy\/yz.

Всякую ДНФ можно привести к СДНФ расщеплением конъюнкций, которые содержат не все переменные, например:

ху V хуz == xyz V хуz V xyz.

Если из формулы F₁ с помощью некоторых эквивалентных соотношений можно получить формулу F₂, то f₁ можно получить из F₂, используя те же эквивалентные соотношения; иначе говоря, всякое эквивалентное преобразование обратимо.

3. Приведение к конъюнктивной нормальной форме.

Аналогично ДНФ определяется конъюнктивная нормальная форма (КНФ) как конъюнкция элементарных дизъюнкций.

От ДНФ к КНФ перейдем следующим образом. Пусть ДНФ F имеет вид F=k₁\/...\/k_m, где k₁,..., k_m — элементарные конъюнкции. Формулу k₁\/...\/k_m приведем к ДНФ k₁^’...k_m^’. Тогда F=k₁...k_m=k₁’...k_m^’=k₁^’k₂^’...k_m^’.

По правилу де Моргана отрицания элементарных конъюнкций преобразуются в элементарные дизъюнкции, что и даст КНФ.

Пример 3.3. xy\/xy\/xz=xyxy/xz= (x\/y) & (x\/у) (xz) =хуху= (x) (х\/y\/z).

Аналогом СДНФ является СКНФ — совершенная конъюнктивная нормальная форма, каждая элементарная дизъюнкция которой содержит все переменные. Единст­венная функция, не имеющая СКНФ, — константа 1.

6. Понятие формальной системы (теории).

Формальные системы — это системы операций над объектами, понимаемыми как последовательности символов (т.е. как слова в фиксированных алфавитах); сами операции также являются операциями над символами. Термин «формальный» подчеркивает, что объекты и операции над ними рассматриваются чисто формально, без каких бы то ни было содержательных интерпретаций символов. Предполагается, что между символами не существует никаких связей и отношений, кроме тех, которые явно описаны средствами формальной системы.

Формальная теория (или исчисление) строится следующим образом.

1. Определяется множество формул, или правильно построенных выражений, образующее язык теории. Это множество задается конструктивными средствами (как правило, индуктивным определением) и, следовательно, перечислимо. Обычно оно и разрешимо.

2. Выделяется подмножество формул, называемых аксиомами теории. Множество может быть и бесконечным; во всяком случае оно должно быть разрешимо.

3. Задаются правила вывода теории.

Правило вывода — это вычислимое отношение на множеств» формул. Если формулынаходятся в отношенииR, то формула G называется непосредственно выводимой изпо правилуR. Часто правилозаписывается в виде -Формулыназываютсяпосылками правила R, а G — его следствием или заключением. Примеры аксиом и правил вывода будут при ведены несколько позднее.

Выводом формулы В из формулназывается последовательность формултакая, что, а любаяесть либо аксиома, либо одна из исходных формул, либо непосредственно выводима из формул(или какого-то их подмножества) по одному из правил вывода. Если существует выводВ из A₁, ..., А_п, то говорят, что В выводима из. Этот факт обозначается так:. ФормулыA₁, ..., А_п называются гипотезами или посылками вывода. Переход в выводе от кназываетсяi-м шагом вывода.

Доказательством формулы В в теории Т называется вы вод B из пустого множества формул, т. е. вывод, в котором в качестве исходных формул используются только аксиомы формула В, для которой существует доказательство, называется формулой, доказуемой в теории Т, или теоремой теории T; факт доказуемости В обозначаетсяОчевидно, что присоединение формул к гипотезам не нарушает выводимости. Поэтому если, то, и если|-B, тодля любых А ипорядок гипотез в списке несуществен.

При изучении формальных теорий мы имеем дело с дву­мя типами высказываний: во-первых, с высказываниями самой теории (теоремами), которые рассматриваются как чисто формальные объекты, определенные ранее, а во-вто­рых, с высказываниями о теории (о свойствах ее теорем, доказательств и т.д.), которые формулируются на языке, внешнем по отношению к теории, — метаязыке и называ­ются метатеоремами.

1. Понятие полноты и непротиворечивости формальных теорий.

Непротиворечивость:

Тео­рия семантически непротиворечива, если ни одна из ее тео­рем не является противоречивой, т. е. ложной в любой интерпретации.(пример: исчисление высказываний и исчисление предикатов)

Теория Т называется формально непротиворечивой, если не существует формулы F такой, что _и являются теоремами теории Т, т. е. в Т не выводимы одновременно формула и ее отрицание.

Теорема:

Множество формул формально непротиво­речиво, если и только если оно семантически непротиворе­чиво (т. е. имеет модель).

Полнота:

Пусть имеется, с одной стороны, содержательная теория S, сформулированная в семантических терминах, т.е. совокупность истинных высказываний о некоторой алгебраической системе М; с другой стороны — формальная теория Т, т. е. множество выражений, выводи­мых из аксиом теории Т с помощью правил вывода тео­рии Т. В каких случаях можно утверждать, что Т является удовлетворительной формализацией S? Каковы признаки удовлетворительности формализации?

Очевидно, необходимым признаком является условие, чтобы S была моделью теории Т, т. е. чтобы существовало отображение, при котором всякая теорема теории Т отобра­жается в истинное высказывание из S. Однако само по себе это условие явно недостаточно, иначе для формализации любой теории S хватило бы чистого исчисления предикатов: ведь для него любое множество является моделью. Исчер­пывающей формализацией S будет служить такая теория Т, для которой выполняется и обратное соответствие: каждое истинное высказывание теории S отображается в некоторую теорему теории Т. Теория Т с таким свойством называется полной относительно S, а иногда (например, в [39]) — аде­кватной S.

Если для семантической (содержательной) теории S уда­ется, построить непротиворечивую и полную формальную теорию Т, то S естественно назвать аксиоматизируемой, или формализуемой, теорией. (логика высказываний и логика предикатов аксиоматизируемы с помощью соответствующих исчислений)

Еще одна важная характеристика формальной теории --это ее разрешимость. Формальная теория Т называется разрешимой, если существует алгоритм, который для любой формулы языка определяет, является она теоремой в Т или₎ нет, иначе говоря, если предикат «быть теоремой в теории Т» общерекурсивен..

Теорема (первая теорема Геделя о неполноте форме Клини). Любая формальная теория Т, содержащая формальную арифметику, неполна: в ней существует (и может быть эффективно построена) замкнутая формула F такая , чтоистинно, но ни F, ни не выводимы в Т.

Теорема (вторая теорема Геделя о неполноте), в любой непротиворечивой формальной теории Т, содержащей формальную арифметику, формула, выражающая противоречивость Т, недоказуема в Т.

23. Язык исчисления высказываний.

В исчислении высказываний мы встречаемся с объек­тами — с формулами алгебры логики. Однако здесь формулы рассматриваются не как способ представления функций, а как составные высказывания, образованные из элементарных высказыва­ний (переменных) с помощью логических операций или, как говорят в логике, связок. При этом особое внимание уделяется тождественно-истинным высказываниям, поскольку они должны входить в любую теорию в качестве общелогических законов. Их порождение и является основной задачей исчисления высказываний. Исчисление высказываний определяется следующим образом.

1. Алфавит исчисления высказываний состоит из переменных высказываний (пропозициональных букв): A, B,С..., знаков логических связоки скобок (,).

2. Формулы:

а) переменное высказывание есть формула:

б) если A и B формулы, то, ,и— формулы;

в) других формул нет.

Внешние скобки у формул обычно договариваются опускать: например, вместопишут, Вместо синтаксически более удобного знакачасто употребляется черта над формулой (она использовалась в гл. 3).

3. Аксиомы. Приведем здесь две системы аксиом. Пер­вая из них непосредственно использует все логические связки:

Система аксиом I

Другая система использует только две связки,при этом сокращается алфавит исчисления (выбрасываются знаки) и соответственно определение формулы. Операциирассматриваются не как связки исчисления высказываний, а как сокращения (употреблять которые удобно, но не обязательно) для некоторых его формул:заменяет,заменяет. В результате система аксиом становится намного компактнее.

Система аксиом II

II 3

Приведенные системы аксиом равносильны в том смысле, что порождают одно и то же множество формул. Разумеется, такое утверждение нуждается в доказательстве,

которое заключается в том, что показывается выводимость всех аксиом системы II из аксиом системы I и, наоборот, системы I из системы II ( с учетом замечаний относительно ).

Возможны и другие системы аксиом, равносильные пер­вым двум системам.

4. Правила вывода:

1) правило подстановки. Если —выводимая форму­ла, содержащая букву А (обозначим этот факт), то выводима формула, получающаяся иззаменой всех вхождений А на произвольную формулу

'

2) правило заключения (Modus Ponens), Еслии— выводимые формулы, товыводима:

В этом описании исчисления высказываний аксиомы являются формулами исчисления (соответствующими определению формулы); формулы же, использованные в правилах вывода (,и т.д.), это «метаформулы», или схемы формул. Схема формул, например,обозначает множество всех тех формул исчисления, которые получаются, если ее метапеременные заменить формулами исчисления: скажем, еслизаменить на А, а— на, то из схемы формулполучим формулу

Использование схем формул можно распространить и на аксиомы. Например, если в системе II переменные (пропозициональные буквы) А, В, С заменить метапеременными, то получаются три схемы аксиом, задающие три бесконечных множества аксиом.