5. Бинарные отношения, свойства бинарных отношений и их представление на языке семантических сетей.

Бинарные отношения – отношения, все связки которых являются 2-мощными множествами, то есть мощность которых равна 2 (в частности 2-мощными кортежами или ориентированными парами).

Функциональные (однозначные) бинарные отношения – бинарные отношения для которых существует по крайней мере одна унарная функция, то есть по крайней мере один атрибут, являющийся ключом.

К числу бинарных отношений относятся:

• отношение принадлежности (множество знаков всевозможных пар принадлежности)

• отношение непринадлежности (множество знаков всевозможных пар непринадлежности)

• отношение нечёткой принадлежности(-//- нечётной принадлежности)

Рефлексивное бинарное отношение – бинарное отношение со схемой {ai,aj}, для каждого х из области определения отношения r кортеж {ai:x, aj:x} принадлежит этому отношения

Иррефлексивное бинарное отношение – бинарное отношение, в рамках которого не существует ни одного кортежа, элементы которого бы совпадали

Частично рефлексивное отношение – бинарное отношение, в рамках которого существуют кортежи, элементы которого совпадают и которое не является рефлексивным бинарным отношением.

Симметричное БО – БО со схемой {ai, aj}, для каждого кортежа {ai:x, aj:y} которого справедливо, что кортеж {ai:у, aj:х} также принадлежит отношению.

Антисимметричное бинарное отношение – БО со схемой {ai, aj} и в нём выполняется условие если кортеж {ai:x, aj:y} принадлежит отношению r и кортеж {ai:y, aj:x} принадлежит отношению r, то х=у

Частично симметричные БО – БО, которые не являются ни симметричными, ни антисимметричными.

Транзитивные БО = БО со схемой {ai, aj}, причём для любых x, y, z из области определения отношения справедливо , что если кортежи {ai:x, aj:y} и {ai:у, aj:z} принадлежат отношению, то кортеж {ai:x, aj:z} тоже принадлежит отношению.

Транзитивные БО = БО со схемой {ai, aj}, причём для любых x, y, z из области определения отношения справедливо , что если кортежи {ai:x, aj:y} и {ai:у, aj:z} принадлежат отношению, то не найдётся кортежа {ai:x, aj:z}, который также принадлежит отношению.

Частично транзитивные БО – БО, не являющиеся ни транзитивными, ни антитранзитивными.

БО эквивалентности – БО со свойствами рефлексивности, симметричности, транзитивности

БО предпорядка – БО со свойствами рефлексивности, транзитивности

БО частичного порядка – БО со свойствами рефлексивности, антисимметричности, транзитивности.

БО линейного порядка – БО, которое является отношением частичного порядка с атрибутами ai, aj, и для любых элементов х и у из области определения отношения имеет место принадлежность отношению либо кортежа {ai:x, aj:y} либо кортежа {ai:у, aj:х} (то есть любые 2 элемента сравнимы)

SCBg-текст 3.3.3.5.  Вариант 5 изображения отношения сложения (классическое бинарное отношение с атрибутами “ сумма_”  и  ” слагаемые_”)

6. Соответствия и их типология. Представление соответствий на языке семантических сетей.

Каждое конкретное соответствие между 2мя множествами будем трактовать как тернарный кортеж, связывающий:

• знак некоторого бинарного отношения – этому знаку приписывается атрибут «отношение_» (быть отношением; в данном случае речь идёт только о бинарных отношениях)

• знак пары, связывающей знак одного из заданных множеств со знаком соответствующего ему атрибута, используемого в указанном выше бинарном отношении, - в этой паре используется атрибут «атрибут_» (быть атрибутом), второй атрибут задаётся по умолчанию.

• Знак аналогичной пары, связывающей знак второго из заданных множеств со знаком соответствующего ему атрибута.

Кортеж k задаёт соответствие между множеством х и множеством у, то есть имеет место scb-конструкция:

Соответствие

В том и только том случае, если:

1. имеет место конструкция вида

k

отношение_

атрибут_

•

•

r

sx

ay

ay

sy

2. r – бинарное ориентированное отношение с атрибутами ах и ау

k – знак конкретного соответствия между множествами sx и sy

sx – множество прообразов

sy – множество образов

r – отношение соответсвия

3) r(sx(ax)Xsy(ay)).

Множество знаков всевозможных конкретных соответствий есть не что иное, как одно из метаотношений, заданных на множестве всевозможных бинарных отношений (множество всевозможных БО входит в область определения указанного метаотношения). Рассматриваемому метаотношению присвоим имя «соответствие» (быть соответствием)

Типология соответствия определяется следующими факторами:

• как соотносятся между собой множество sx и множество sy (равенство, включение, строгое пересечение, то есть наличие как общих так и не общих элементов, непересечение)

• как соотносятся множества sx и sy суммарными проекциями отношения r по соответствующим атрибутам (указанные множества могут совпадать с соответствующими унарными проекциями, а могут быть их подмножествами)

• Имеются ли функциональные зависимости у отношения r, если да, то сколько (1 или 2)

7. Понятие метаотношения. Представление метаотношений на языке семантических сетей.

Будем считать, что отношение r относится к классу отношений над отношениями (к классу метаотношений) в том и только том случае, если:

• в область определения отношения r входят либо знаки всевозможных отношений, либо знаки всех отношений некоторого класса

• в состав каждой связи отношения r входи знак некоторого отношения.

В SCB вводятся ключевые узлы «метаотношение» и его синоним «отношение над отношениями»

Анализ области определения метаотношений позволяет выделить следующие классы таких отношений:

• отношения над всевозможными множествами,

• отношения над классическими отношениями,

• отношения над ориентированными отношениями,

• отношения над неориентированными отношениями,

• отношения над бинарными ориентированными отношениями,

• отношения над бинарными неориентированными отношениями и т.д.

7. Понятие алгебраической операции. Типология и свойства алгебраических операций. Представление алгебраических операций на языке семантических сетей.

Алгебры. Функцию типа : Mn->M будем называть п-арной операцией на множестве М; п называется арностью операции . Множество М вместе с заданной на нем совокупностью операций ={₁,..,_m,...}, т.е. система А=(М; ₁,..., _m,...), называется алгеброй; М называется основным, или несущим, множеством (или просто носителем) алгебры A. Вектор арностей операций алгебры называется ее типом, совокупность операций  — сигнатурой.

Множество M'M называется замкнутым относительно n-арной операции  на М, если (М’ⁿ} M’, т.е. если значения на аргументах из М' принадлежат М'. Если М' замкнуто относительно всех операций ₁, ...,_m... алгебры A, то система А'= (М’, ₁, ...,_m...) называется подалгеброй А (при этом ₁, ...,_т... рассматриваются как операции на М').

Пример. Алгебра (R; +, •) называется полем действительных чисел. Обе операции — бинарные, поэтому тип этой алгебры (2, 2). Все конечные подмножества R, кроме {0}, не замкнуты относительно обеих операций. Подалгеброй этой алгебры является, например, поле рациональных чисел.

Свойства бинарных алгебраических операций:

1. Операция  называется ассоциативной, если для любых элементов а, b, c (аb)c = a(bc)

2. Операция  называется коммутативной, если для любых элементов а и b выполняется ab = ba

3. Операция  называется дистрибутивной слева относительно операции ψ если для любых a,b,c выполняется a(bψc) = (ab)ψ(ac) и дистрибутивной справа если для любых a,b,c выполняется (aψb)c = (aс)ψ(bc)

7. Понятие шкалы измерения. Представление результатов измерений на языке семантических сетей.

Во множестве знаков всех пар принадлежности, выходящих из знаков чисел, выделяются подмножества, каждому из которых соответствует некоторая конкретная процедура измерения. Такие подмножества дуг принадлежности выходящих из знаков чисел, будем называть конкретными шкалами измерения. Соответственно этому введем ключевой scb-узел с идентификатором “шкала измерения”, множество знаков всевозможных шкал измерения. Заметим при этом, что конкретная шкала (процедура) измерения может использоваться при измерении нескольких параметров.

К числу измеряемых параметров относятся:

• номер (порядковый номер элемента кортежа)

• мощность множества (кол-во пар принадлежности, выходящих из знака множества)

• количество элементов множества

• вес пары принадлежности

• арность отношения

• масса

• температура

• величина плоского угла

• расстояние, длина, площадь и объем

• влажность

• давление

• сила электрического тока, напряжение, сопротивление, индуктивность, емкость

• местоположение

• отметка времени

• длительность во времени

• скорость, ускорение

В качестве примера рассмотрим параметр «мощность множества». Параметр «мощность множества» будем также идентифицировать синонимичным идентификатором «pwSet»:

pwSet

•

n

s

Э

•

та конструкция означает, что мощность множестваs равна числу n. При этом число n очевидно, принадлежит множеству натуральных чисел.

7. Понятие алгебраической системы. Типология алгебраических систем. Представление алгебраических систем на языке семантических сетей.

Множества, на которых кроме операций, заданы отношения, называются алгебраическими системами. Таким образом, алгебры можно считать частным случаем алгебраических систем (в которых множество отношений

пусто). Другим частным случаем алгебраических систем являются модели — множества, на которых заданы только отношения.

Типология:

- алгебраические системы

- алгебры

- алгебраическая структура с бинарными операциями (алгебраическая структура, каждая операция которой соответствует некоторому тернарному отношению)

- алгебраическая структура с одной бинарной операцией

- группоид

- группоид с нейтральным элементом

- группоид без нейтрального элемента

- полугруппа

- коммутативная полугруппа

- некоммутативная полугруппа

- полугруппа с правым сокращением

- полугруппа с двухсторонним сокращением

- группа

- коммутативная группа

- алгебраическая структура с двумя бинарными операциями

- кольцо

- тело

- поле

- решетка

- дедекиндова решетка (модулярная решетка)

- дистрибутивная решетка

- алгебраические модели

- графовые структуры