17 .Понятие логического формального языка. Примеры логических формальных языков
Язык понимается как множество формальных объектов – последовательностей символов алфавита. Последовательность символов обычно называют нейтральным термином «цепочка», а язык, понимаемый как множество формальных цепочек, - формальным языком.
Логические формальные языки : язык логики высказываний, язык логики предикатов, линейные формальные языки.
Логика высказываний.
Объекты – формулы алгебры логики, которые рассматриваются как составные высказывания, образованные из элементарных высказываний(переменных) с помощью логических операций или, связок ¬ (отрицание), & (конъюнкция), (дизъюнкция) и → (импликация). Особое внимание уделяется тождественно-истинным высказываниям, порождение которых является основной задачей исчисления высказываний. Исчисление высказываний(ИВ) определяется след.обр.
1.Алфавит ИВ состоит из переменных высказываний (пропозициональных букв): А, В, С…, знаков логический связок ¬, &, , → и скобок (, ) .
2. Формулы :
а) переменное высказывание есть формула;
б) если α и β – формулы, то (αβ), (А&β), (α→β) и ¬α – формулы;
в) других формул нет.
3. Аксиомы: А→(В→А); (А→(В→С)→((А→В)→(А→С)); (¬А→¬В)→(( ¬А→В)→А).
4. Правила вывода: правила подстановки и правило заключения (Modus Ponens).
Язык логики предикатов
Понятие ``предикат'' обобщает понятие ``высказывание''. Неформально говоря, предикат – это высказывание, в которое можно подставлять аргументы. Если аргумент один – то предикат выражает свойство аргумента, если больше – то отношение между аргументами.
Пример предикатов. Возьмём высказывания: ``Сократ - человек'', ``Платон - человек''. Оба эти высказывания выражают свойство ``быть человеком''. Таким образом, мы можем рассматривать предикат ``быть человеком'' и говорить, что он выполняется для Сократа и Платона.
Язык логики предикатов определяется след. обр.
1.Алфавит состоит
за предметных переменных
,
…,
предметных констант
,
…,
предикатных букв
,
,…,
…
и функциональных букв
,
,…,
,…,
а также знаков логических связок¬,
&, , → кванторов всеобщности
и
существования
и скобок
(, ). Верхние индексы предикатных и
функцилнальные букв указывают число
аргументов, их нижние индексы служат
для обычной нумерации букв.
2.Формулы.
1. Термы(это объектные константы или объектные переменные.):
а) предметные переменные и константы;
б) если
-
функциональная буква, а
,…,
-термы,
то
(
,…,
)-терм.
2. Формулы:
а) если
-
предикатная буква, а
,…,
-
термы, то
(
,…,
)-
формула; все вхождения предметных
переменных в такую формулу наз-ся
свободными;
б) если
,
-формулы,
то формулами являются¬
,
(
→
),
(
),
(
&
);
все вхождения переменных, свободные в
,
,
являются свободными в указанных формулах;
в) если F(x) – формула, содержащая свободные вхождения переменной х, то х F(x) и хF(x)- формулы; в этих формулах все вхождения переменной х называются связанными; вхождения остальных переменных в F остаются свободными.
3. Аксиомы делятся на две группы:
а) аксиомы исчисления высказываний;
б) Р1.х F(x) →F(у);
Р2. F(у) →хF(x).
3. Правила вывода:
а) правило заключения (Modus Ponens);
б) правило обобщения (-введения);
в) правило -введения.
см. также вопрос 16