6. Образ и прообраз множества в отношении.

(х RcA*B) образ множества х в отношении R – множество всех тех и только тех элементов области прибытия В, каждое из которых соответствует каким-нибудь элементам из множества х.

ПРИМЕР:

R1= {(1, a), (1, b), (2, a), (3, c)}

X= {1, 2}

R(x) = {a, b}

R(x) =Пр₂(x*B∩R)

R ({a}) =R (a) – частный случай

R(x) =UR (0) A€Х

Образ множества можно выразить образом отдельных элементов.

R2*R1(x) =образ композиционных отношений = R2 (R1(x))

Прообраз множества х в отношении RcA*B называется R^-1(х) равный множеству тех элементов, каждый из которых соответствуют элементу из множества х.

Полный прообраз R^-1(х) – образ этого же множества х в инверсии отношений.

R1= {(1, a), (1, b), (2, a), (3, c)}

R^-1({a, c}) = {1, 2, 3}

R^-1(x) =Пр₁ (А* x∩R)

7.Соответствия. Свойства соответствий.

Соответствие – это тройка множеств, первая компонента которой явл. подмножеством Декарт. произведения второй компоненты на третью.

Г=(G,X,Y)

GcX*Y

При этом первая компонента наз. графиком соответствия, Х - область отправления соответствия, У - областью прибытия Г.

Область определения соответствия Г - это область определения его графика (проекция на 0Х). Область значения Г - это область значения графика этого соответствия (проекция на ось 0У).

Область определения и область отправления могут не совпадать, но область определения явл. подмножеством область отправления.

Пр₁ GcX

Пр₁ GcY

Свойства соответствий.

RcA*B (А-область отправления, В-область прибытия)

1. Соответствие наз. функциональным, если у него нет пар с одинаковыми первыми и разными вторыми компонентами.

(a,b),(a,c) - нефункциональное.

2. Соответствие наз. инъективным, если у него нет пар с одинаковыми вторыми и разными первыми компонентами.

3. Соответствие наз. всюдуопределенным, если его область определения совпадает с областью отправления.

4. Соответствие наз. сюръективным, если его область значений совпадает с областью прибытия.

5. Соответствие наз. биективным (однооднозначным или взаимнооднозначным), если оно является функциональным, инъективным, всюдуопределенным и сюръективным.

8.Отношения. Свойства отношений.

Отношением наз пара множеств, первая компонента которой явл подмножеством декартового квадрата второй компоненты.

φ= (Ф, М)

Фс М²

при этом первая компонента наз графиком отношения, вторая - областью задания.

Частный случай соответствия и наоборот.

Г=(G,X,Y) Х=У

М=ХUY

Г: М-> Н

Отношение задается с помощью высказывания, в котором утверждается, какие пары входят в отношение(в его график)

(a,b)cG φ= (Ф, М) - говорят, что а находится в отношении φ с b (аφb) а и b находятся в отношении φ между собой.

Отношения имеют имена. Отношение Ф наз. полным если его график-множество пар, которые могут образовывать отношения.

Графиком отношения может быть диагональ. Это отношение наз. отношением равенства

Свойства отношений.

1. Отношение наз. рефлексивным RcA² если любая пара (а,а) из области определения принадлежит этому отношению.

2. Отношение наз. антирефлексивным если любая пара из области определения (а,а) не принадлежит R.

3. Отношение наз. симметричным, если из того, что a находится в отношении с b следует, что b находится в отношении с a (a φb => b φa).

4. Отношение наз. антисимметричным, если из того, что два неодинаковых элемента находятся в отношении между собой следует, что b не находится в отношении φ с a.

5. Транзитивность - если из того что (a φb) & (b φ c)  (a φc).

6. Связанность - если для любых двух неравных элементов (a φb) & (b φ а).