Алгоритм Дейкстры:

x2 [1,x1] x6 = xn [6,x2]

5

1 5

[0,x1] 7 x4 [3,x2] 2

x1

10 2

1

x3 [5,x4] x5 [5,x4]

1. Разметки делятся на временные и постоянные.

Всем вершинам приписываем временную разметку .

В первой вершине ставим постоянную разметку .

2. Пусть - последняя из вершин, получивших постоянную разметку.

Для всех соседних вершин с временными разметкамипроверяется неравенство:

Если оно выполняется, то у вершины разметка меняется на

, если не выполняется, то разметка остается прежней.

3. Среди временных вершин выбирается вершина с минимальным расстоянием и она объявляется постоянной вершиной.

Возможны два исхода:

- вершина не имеет постоянной разметки, тогда возвращаемся к пункту 2.

- вершина имеет постоянную разметку.4. Построим искомый путь: Начинаем с вершины , вторая компонента разметки вершины- вторая вершина () и т.д.

27. Транспортные сети. Задача о максимальном потоке.

Задача о максимальном потоке – одна из оптимизационных задач.

Транспортные сети – граф, ориентированный в одном общем направлении от вершин, называемых входами, к вершинам, называемым выходами сети.

.

ориентация неизменна ориентация неизменна

В большинстве случаев рассматривается сеть с одним входом и одним выходом.

Транспортная сеть – граф с нагруженными ребрами. Каждому ребру приписывается число, равное пропускной способности этого ребра. Транспортная сеть имеет функцию пропускной способности (определена на множестве ребер) - .

Функция потока – целочисленная неотрицательная функция, определена на множестве ребер и удовлетворяет условиям:

1) - ребро,- неотрицательная функция.

2) Поток через каждое ребро не может превышать пропускной способности этого ребра:

3) Для каждой промежуточной вершин (узла) сумма потоков, входящих в узел, равна сумме потоков, выходящих из этого узла:

,

Ф =

Величина потока одинакова через любой разрез сети.

Разбить на два подмножества вершин А и В, не пустых, не пересекающихся, ,.

Множество ребер, заходящих в множество В, называется разрезом сети.

Величина разреза равна сумме пропускных способностей всех ребер, входящих в него:

=

Величина потока через разрез - сумма величин потоков по всем ребрам, входящим в него:

=

Задача о максимальном потоке:

Найти такое распределение потока по ребрам, чтобы суммарный поток через сеть принимал максимальное значение:

28. Теорема и алгоритм Форда-Фалкерсона.

x1 (4) x3

5 (4)

(4) 10 4

x0 1 7 10

(2) xn = x5

2 (1) (1) 20

10 (3)

x2 (3) x4

Начиная с любого начального распределения потока алгоритм строит максимальный поток. Алгоритм носит циклический характер.

В каждом шаге происходит увеличение потока на 1 или сигнализация о том, что максимальный поток построен.

Лучше начинать алгоритм с полного потока.

Полный поток через транспортную сеть - поток, насыщающий все пути из начальной вершины в конечную.

Путь называется насыщенным, если он содержит хотя бы одно насыщенное ребро.

Ребро называется насыщенным, если поток через него равен его пропускной способности.