1.Множества и подмножества. Операции над ними.

Множества относятся к основополагающим понятиям математики. Синонимы множества – совокупность, набор. Элементы, входящие во множество – элементы множества. (). К элементам множества предъявляется только требование – быть точноопределёнными и различными (должны удовлетворять закону противоречия исключённого третьего).З-н исключённого третьего: любой элемент может либо принадлежать множеству либо нет (третьего не дано). З-н противоречия: должна быть возможность однозначно судить элементы множеству или. Порядок элементов в множестве безразличен. Множества по числу элементов делятся на: конечные и бесконечные.

Ø - пустое множество (не содержит ниодного элемента).

Множества и подмножества АсВ (А – подмножество В), еслисправедливо, следовательно.

–справедливо. Любое множество является подмножеством самого себя. Если , то А – собственное подмножество В.(собственное)(несобственное). Пустое множество – подмножество А – истина вследствие ложной последовательности.

Равенство множеств Множества равны, если они состоят из одних и тех же элементов. А=В тогда и только тогда, когда .

Операции над множествами

1)Объединение множеств – множество, к-е содержит все элементы объединяющихся множеств (теоретикомножественное сложение). , С- состоит из всех тех элементов, к-е принадлежат множеству А или В.;.

2) Пересечение множеств – мн-во, состоящее из эл-в, к-ые принадлежат всем множествам. ,;. ЕслиØ , то А и В не пересекаются.

3)Разность множеств – мн-во состоящее из элементов, к-ые принадлежат 1-му множеству и не принадлежат второму. С=А\В.

4)Дополнение множества А – множество элементов, к-ые не принадлежат множеству А. .

Все множества, к-ые рассматриваются одновременно при операциях, должны быть подмножеством «универсума» (основного множества) . От выборазависит, что считать дополнением.

Беулеан М – множество всех подмножеств множества М. А\В=..

Принцип двойственности Одним из вариантов выражения двойственности является принцип де Моргана.

L=P : LcP, PcL. .

1)Рассмотрим любой элемент LcP и докажем, что любой элемент P принадлежит L. , еслидополнению, то он непоследнему.. Но если, тои,. Значит.

2) PcL.

2. Основные равносильности алгебры множеств.

Основные операции: объединение, пресечение, дополнение. Применяя операции над подмножеством некоторого основного множества принадлежащие множеству всех подмножеств, в результате получаем некоторое подмножество основного множества. Множество всех подмножеств основного множества с определёнными в этом множестве тремя операциями, к-ые обладают определённым набором свойств – алгебра множеств.

Основные свойства:

1) Свойство двойного отрицания: .

2) Закон идемпотентности: ,.

3) Закон коммутативности: ,.

4) Свойство ассоциативности: ,.

5) Закон де Моргана: ,.

6) Закон дистрибутивности: ,.

7) Закон тождества: Ø,.

8) Закон отрицания: ,Ø.

9) Закон поглощения: ,.

Основное множество иногда называют и обозначают единицей алгебры. Пустое множество - нуль. Пересечение - умножение. Объединение – сложение.

Правило опускания скобок: приоритет операций: скобки можно опускать если согласно приоритету операций восстанавливается требуемая последовательность операций. - однотипно.

Эквивалентные множества. Мощность множества 2 множ. эквивал. если между их элем. можно установ. взаимооднозначное соответств. (+ одинаковое число элементов). Множество счётных чисел эквивалентно множеству натуральных чисел. Мощностью множества называется то общее, что есть у всех множеств эквивалентных данному множеству.|A|=W. Множество целых чисел – чётное множество. Несчётное множество – бесконечное множество не эквивалентное счётному множеству. Континиум – самый простой пример несчётного множества. Например, множество точек отрезка [0;1] имеет мощность множества континиума.