16) Диофантовы уравнения
int gcd (int a, int b, int & x, int & y) {
if (a == 0) {
x = 0; y = 1;
return b;
}
int x1, y1;
int d = gcd (b%a, a, x1, y1);
x = y1 - (b / a) * x1;
y = x1;
return d;
}
bool find_any_solution (int a, int b, int c, int & x0, int & y0, int & g) {
g = gcd (abs(a), abs(b), x0, y0);
if (c % g != 0)
return false;
x0 *= c / g;
y0 *= c / g;
if (a < 0) x0 *= -1;
if (b < 0) y0 *= -1;
return true;
}
A,b>0;
17) Нахождение степени делителя факториала
Даны
два числа:
и 
.
Требуется посчитать, с какой степенью
делитель
входит
в число 
,
т.е. найти наибольшее
такое,
что
делится
на 
.
int fact_pow (int n, int k) {
int res = 0;
while (n) {
n /= k;
res += n;
}
return res;
}
18) Дискретное логарифмирование
Задача дискретного логарифмирования заключается в том, чтобы по данным целым , , решить уравнение:
где и — взаимно просты
int solve (int a, int b, int m) {
int n = (int) sqrt (m + .0) + 1;
int an = 1;
for (int i=0; i<n; ++i)
an = (an * a) % m;
map<int,int> vals;
for (int i=1, cur=an; i<=n; ++i) {
if (!vals.count(cur))
vals[cur] = i;
cur = (cur * an) % m;
}
for (int i=0, cur=b; i<=n; ++i) {
if (vals.count(cur)) {
int ans = vals[cur] * n - i;
if (ans < m)
return ans;
}
cur = (cur * a) % m;
}
return -1;
}
19) Нахождение площади простого многоугольника
double sq (const vector<point> & fig)
{
double res = 0;
for (unsigned i=0; i<fig.size(); i++)
{
point
p1 = i ? fig[i-1] : fig.back(),
p2 = fig[i];
res += (p1.x - p2.x) * (p1.y + p2.y);
}
return fabs (res) / 2;
}
20) Теорема Пика.
Многоугольник без самопересечений называется решётчатым, если все его вершины находятся в точках с целочисленными координатами (в декартовой системе координат)
Пусть дан некоторый решётчатый многоугольник, с ненулевой площадью.
Обозначим
его площадь через 
;
количество точек с целочисленными
координатами, лежащих строго внутри
многоугольника — через 
;
количество точек с целочисленными
координатами, лежащих на сторонах
многоугольника — через 
.
Тогда справедливо соотношение, называемое формулой Пика:
21) Пересечение окружности и прямой
Дана окружность (координатами своего центра и радиусом) и прямая (своим уравнением). Требуется найти точки их пересечения (одна, две, либо ни одной).
Сначала найдём ближайшую к центру точку прямой - точку с некоторыми координатами (x0,y0). Во-первых, эта точка должна находиться на таком расстоянии от начала координат:
|C|
----------
sqrt(A2+B2)
_________________________
A C
x0 = - -----
A2+B2
B C
y0 = - -----
A2+B2
_____________________________________
C2
d = sqrt ( r2 - ----- )
A2+B2
_____________________________________
d2
mult = sqrt ( ----- )
A2+B2
ax = x0 + B mult
ay = y0 - A mult
bx = x0 - B mult
by = y0 + A mult
double r, a, b, c; // входные данные
double x0 = -a*c/(a*a+b*b), y0 = -b*c/(a*a+b*b);
if (c*c > r*r*(a*a+b*b)+EPS)
puts ("no points");
else if (abs (c*c - r*r*(a*a+b*b)) < EPS) {
puts ("1 point");
cout << x0 << ' ' << y0 << '\n';
}
else {
double d = r*r - c*c/(a*a+b*b);
double mult = sqrt (d / (a*a+b*b));
double ax,ay,bx,by;
ax = x0 + b * mult;
bx = x0 - b * mult;
ay = y0 - a * mult;
by = y0 + a * mult;
puts ("2 points");
cout << ax << ' ' << ay << '\n' << bx << ' ' << by << '\n';
}