4 Сурет. Браве ұяшықтарының түрлері [20].

Сонымен, көлемді орталықтанған Браве трансляциясында 4 вектор (a, b, c, ½(a+b+c)), ал шекті орталықтанғанға алты (a, b, c,  ½(a+b), ½(b+c),  ½(a+c)) вектор кіреді. Ал базо орталықтанған трансляция жүйесіне 4 вектордан сәйкес келеді (a, b, c,½(b+c)), B - векторы (a, b, c, ½(a+c)), ал C - (a, b, c, ½(a+b)).

векторларынан құралған ең кіші параллелепипед элементар ұяшық деп аталады. Бұл дегеніміз, кристалдардың көп реттік қайталану арқылы параллелепипед құруға болатындығын анықтайды. Біртекті атомдардың ара қашықтығын периад немесе кристалдық тордың тұрақтысы деп атайды. Торды құратын барлық элементар ұяшықтар көлемдері және пішіндері жағынан бірдей болады. Ұяшықтың төбелерінде бірдей атомдар немесе атомдық топтар орналасқан. Осы себепті, ұяшықтың барлық төбелері бір- біріне эквивалентті болады. Оларды тор түйіндері деп атайды [21]. Элементар ұяшықты сипаттау үшін 6 шама қажет, олар: ұяшықтың 3 жағы a,b,c және олардың арасындағы бұрыш α, β, γ.

V= abc (1.6)

Ұяшықтың көлемі (1.6) формуламен анықталады.

Бұл шамалар элементар ұяшықтың параметрлері деп аталады. Жазықтықтың симметриясына байланысты барлық кристалдық торлар 6 кристалдық жүйеге бөлінеді. Элементар ұяшықтың пішініне қарай олар 6 сингонияға бірігеді. Айналмалы өс симметриясы мен жазықтықтық симметрия кристалдық торларды 32 симметрия кластарына бөледі, ал бұрандалық өс симметриясы 230 жазықтықтық топқа бөледі [22].

Симметрия бойынша торлардың классификациясы (1 кесте).

Сингониялар:

Төменгі деңгей (трансляциялары бір- біріне тең емес)

-Триклинді:  , 

-Моноклинді:   ,  

-Ромбылы:  

Орташа деңгей (3 трансляцияның ішінен 2- уі тең)

-Тетрагональды:  a=b ,

-Гексагональды: a=b , ,  

Жоғарғы деңгей (трансляциялары өзара тең)

-кубтық:  a=b=c, α=β=γ=90.

1 кесте. Сингониялар [23]

Сингония	Браве ұяшығының орталықтануы
	Прими-тивті	базо- центрленген	Көлемді центрленген	Шекті центрленген	ромбылы
Триклинді (параллелепипед)
Моноклинді (параллелограммом негізді призма)
Ромбылы (тік бұрышты параллелепипед)
Тетрогональды (квадрат негізді тікбұрышты параллелепипед )
Гексагональді (алты бұрышты дұрыс орталықтанған призма)
Кубты (куб)

1.4 Атомдық жазықтық

Кристаллографиялық бағыт және жазықтық. Жазықтықтық торда кристалдық құрылымның реттеліп орналасуы кристаллографиялық бағыттар мен жазықтықтарды анықтауға мүмкіндік береді [24].

Кристаллографиялық бағыт - кристалдық торға жанама орналасқан атомдардың санақ нүктесінен шығатын сипаттық түзу сызықтар болып табылады. Санақ нүктесі болып кубтың төбесі, ал кристаллографиялық бағыты болып оның диагоналі мен қабырғалары және шектік диагональдар болуы мүмкін.

а) б) в) г)

а)- негізгі бағыттары мен белгіленуі, б), в), г)- негізгі жазықтықтар мен олардың белгіленуі

5 сурет. Кристалдық тордағы кристаллографиялық бағыттар мен жазықтықтары [15]

Кристаллографиялық жазықтықты сипаттауда Миллер индекстері маңызды орын алады. Бұл индекстерді қалай анықтаймыз? Миллер индекстері дегеніміз, кристалдық торда атомдық жазықтықтардың орналасуын сипаттайтын кристаллографиялық индекстер. Бұл индекстер қималар және кристаллографиялық жүйе координаттарында 3 жазықтықтан таңдап алынған жазықтықты қиятынмен байланысты (міндетті түрде Декарттық координата емес). Осындай жолмен өстер мен жазықтықтың орналасуының 3 түрлі жолы бар [25]:

- жазықтық 3 өсті де қияды;

- жазықтық 2 өсті қияды, ал 3-шісі параллель;

- жазықтық 1 өсті қияды, ал қалған екеуіне параллель;

Миллер индекстері төмендегідей белгіленеді: (111), (101), (110)… Кристаллографиялық бағыттар мен жазықтықтар, мысалы, шекті кубтың жазықтығы болып табылады, сонымен қатар, әр түрлі диагональдық жазықтықтар мен оларда орналасқан атомдар бар. Қандай да бір бағыттың индексін табу үшін, оған ең жақын орналасқан санақ нүктесінің индексін табу керек. Мысалы, 0Х өсіне ең жақын орналасқан индексті 100 санымен белгілейік. (а сурет) Бұл сандар 0 нүктесіне қатысты координаттарды анықтайды. Сәйкесінше, бұл координаттар ОХ, ОУ, ОZ өстерінің параметрлеріне сәйкес келеді. ОХ және оған параллель бағыттағы индекстерді [100] деп белгілейік. Сәйкесінше ,бағыттары да ОУ, ОZ өсімен [010] және [001] тең болады. Кристаллографиялық бағыттар шек диагональдарына XOZ, XOY және YOZ мынадай [101], [110] және [011] деп белгілейік. Осы әдісті пайдалана отырып, кез келген бағыттың индекстерін анықтауға болады [26].

Мысалы, кубқа жанама бағыттағы индексті былай белгілесе болады:  [111]. Кристаллографиялық жазықтықтың индекстерін табу үшін, ең алдымен санақ 0 нүктесінен координат өсіне ең жақын орналасқан нүктелердің қимасын табу керек. Сосын, оларға кері мәндерін алып дөңгелек жақшада ретпен жазу керек.

Мысалы, XOY параллель жазықтығына жақын орналасқан жазықтықтың координаттық қиылысу нүктелерін аламыз. Олар, 001 сандары.Сондықтан да, бұл жазықтықтың индекстерін былай жазуға болады (001). Жазықтықтың индекстері, параллель жазықтықтарда XOZ и YOZ былай жазылады: (010) и (100). (б сурет). Ал кубтың тік диагональ жазықтығын осылайша өрнектеуге болады: (110), ал көлбеу жазықтықтарда (111), (г сурет).

1.5 Кері торлар

Мұнда арақашықтық ұзындықтың кері өлшемділігіне ие бола алатын абстракты кері кеңістіктегі нүктелік үш өлшемді тор. Кері тор ұғымын рентгенді сәулелердің, нейтрондардың және электрондардың дифракциясын сипаттағанда қажетті ұғымдардың бірі болып табылады. Әрбір кристалды құрылымға екі тор сәйкес келеді: кристалды тор және кері тор. тура және кері торлардың векторларын анықтауға болады. Кристалды тор, бұл қарапайым кеңістіктегі тор, ал кері тор- Фурье кеңістігіндегі торлар. Кристаллографияда кері тор көптеген К векторлардан тұрады. . Әрбір R векторы кристалды торда түйіндердің орналасуын көрсетеді. Базисті векторлармен сипатталатын ( ) шексіз үш өлшемді тор үшін, оның кері торы үштік базистік векторлар ( )арқылы өрнектеледі [7]. Оның тура тормен байланысы

, j=k; 0, j (1.7)

М формуламен анықталады:

(1.8)

Жоғарыда анықталған формула физикалық анықтама деп аталады. Себебі, Мұндағы 2π көбейткіші периодтық құрылымды анықтағанда пайда болады. Кристаллография анықтамасының эквиваленттілігі, кері тор мына қатынасқа бағынатын болса орындалады. .

Бұл формула кері тор векторларын былай анықтайды:

Мұнда, кристаллография анықтамасы арқылы кері өлшемін өлшемі арқылы бағытта, яғни 2π көбейткішінсіз анықтауға болады. Кері тор кеңістік индекстерін анықтауда қолданылады. Кез келген кристаллографиялық жазықтықта кері торды қысқа бірлік вектор коэффициенттерімен анықтаса болады. Кері тордың параметрлері мен элементар ауыстыру векторлары арасында белгілі бір байланыс бар. Мысал ретінде, кристалды тордың элементар ұяшығында 3 элементар ауыстыру бар деп қарастырайық (суретте). Координат жазықтықтары ең қарапайым жазықтықтың торлары болып табылады. және параллель векторларының жазықтықтар кеңістігі (100),. Оны басқаша векторының осы жазықтыққа перпендикуляр соңғы нүктесі ретінде белгілеуге болады. Осы вектордың ұзындығы ретінде, жазықтықаралық арақашықтықтың кері мәнін алса болады: =|0 | Мұндағы, | 0 | - (100) жазықтығының нормаліне векторының проекциясы. векторының ұзындығын мынадай шарттармен анықтаса болады: | 0 | =1 [27] .

Сонымен қатар, векторы жазықтық нормаліне жанама орналастырылады. Себебі, векторының бағытына жанама қараған бақылаушы және векторларының қозғалысы сағат тіліне бағыттас екенін көрсе болады (6 сурет).

Векторлық шартта олар былай жазылады:

( )=1, ( )=0, ( )=0 (1.9)

Ал қалған және векторларын басқа координаттық жазықтықта анықтайды:

( )=0, ( )=1, ( )=0

( )=0, ( )=0, ( )=1 (1.10)