Понятия о неравноточных измерениях.

В тех случаях, когда измерения выполняются с различной погрешностью, необходимо учитывать достоинства каждого измерения.

Для характеристики надёжности результатов неравноточных измерений. а также для возможности сопоставления результатов таких измерений вводится понятие веса измерения.

Под весом результата измерения понимают отвлечённое число, обратно пропорциональное квадрату средней квадратической погрешности данного измерения, т.е.

р=С/m², (32)

где р - вес результата измерения; m - средняя квадратическая погрешность; С-произвольное число.

Пусть при измерении одной и той же величины получено несколько средних значений:

С

l₁ с весом р₁ = -----

m₁²

C

l₂ с весом p₂ = -----

m₂²

.....................................

C

l_n с весом p₃ = -----

m_n²

Общая арифметическая середина в таком случае определяется по формуле:

l₁p₁+l₂p₂+...+l_np_n [lp]

L_p = ------------------------------ = ------ (33)

p₁+p₂+...+p_n [p]

Выражение (33) называют весовым средним значением или общей арифметической серединой.

Обозначим через m среднюю квадратическую погрешность измерения, вес которого равен единице. Согласно (32) можно написать

p = C/m²=1.

Откуда

С = m² и p = m²/m²,

тогда

m

m = ----- . (34)

Öp

т.е. средняя квадратическая погрешность любого результата измерения равна погрешности единицы веса, делённой на корень квадратный из веса этого результата.

Примем без доказательства:

Средняя квадратическая погрешность общего арифметического среднего будет выражаться формулой

__

M₀ = m/Ö[p] ,

где [p]=p₁+p₂+...+p_n - сумма весов отдельных измерений.

Задача 6. Измерен угол В четыре раза, причём с различной точностью. В результате измерений оказалось, что

В₁ = 23  12' 02" со средней квадратической погрешностью ± 8.0",

В₂ = 23 12 15 " " ±8.8

В₃ = 23 12 06 " " ±11.4

В₄ = 23 12 10 " " ±9.8

Принимаем С = (8.0")² = 64.0, тогда

p₁ = 1.0; p₂ = 0.83; p₃ = 0.49; p₄ = 0.74.

[p]=1.0+0.83+0.49+0.74=3.06

Общее арифметическое среднее:

02"1+15"0.83+06"0.49+10"0.74 24.8"

В = 23 12'+ ------------------------------------- = 23 12' + ------ = 23 12'08"

1.0+0.83+0.49+0.74 3.06

Если вес первого измерения принят равным 1, то средняя квадратическая погрешность остальных измерений будет:

второе измерение m₂ = ±8.0"/Ö0.83=±8.8"

третье измерение m₃ = ±8.0"/Ö0.49=±11.4"

четвёртое измерение m₄ = ±8.0"/Ö0.74=±9.3"

Средняя квадратическая погрешность общего арифметического среднего

M₀ = ±8.0"/Ö3.06=±4.6"