4.3.Меры точности.

Суждение о точности непосредственных измерений какой-либо величины производится на основании ошибок измерений этой же величины. В самом общем случае численная характеристика ряда погрешностей возникает из следующих соображений.

Введём несколько определений:

1.Дисперсия. Рассмотрим два ряда случайных ошибок измерений одного и того же угла (в секундах):

+6; -4; + 8; +4; -2; 0; + 8; -6; +4; -6

0; +2; +14; -4; -2; +2; -16; 0; +6; -2

Сопоставляя абсолютные значения ошибок, легко обнаружить, что в первом ряде значения ошибок находятся в диапазоне от +8 до -6; в то время как во втором - от +14 до -16. Следовательно, в первом ряде ошибки менее рассеяны. Таким образом, рассеяние, или дисперсия характеризует точность данного ряда ошибок измерения. Степень рассеивания может быть выражена различным образом и пока на этом останавливаться не будем.

2.Средняя арифметическая ошибка. Одним из наиболее логичных способов охарактеризовать какой-либо ряд наблюдений является вычисление средней арифметической погрешности, при этом в расчёт принимаются абсолютные значения погрешностей, т.е. вне зависимости от их знака.

[|d|]

q = -------. (6)

n

Средняя арифметическая ошибка выражает меру точности любого отдельного непосредственного измерения из данного ряда.

Однако, у данного параметра точности есть существенный недостаток - он сглаживает влияние сравнительно крупных ошибок. В частности, для приведенного выше примера оба ряда характеризуются одинаковой величиной средней арифметической погрешности:

6 + 4 + 8 + 4 + 2 + 0 + 8 + 6 + 4 + 6

q₁= --------------------------------------------= 4.8

10

0 + 2 + 14 + 4 + 2 + 2 + 16 + 0 + 6 + 2

q₂=--------------------------------------------- = 4.8

10

В то же время эти ряды заметно отличаются друг от друга по качеству и, следовательно, точности проведенных измерений.

Вследствие указанного обстоятельства более широкое применение находит другой параметр точности, не обладающий свойством сглаживания, а именно, средняя квадратическая ошибка.

3.Средняя квадратическая погрешность. Представляет собой корень квадратный из суммы квадратов погрешностей, разделенной на число измерений (Формула Гаусса).

______________

/d₁²+d₂²+d₃²+...d_n²

m = ±Ö---------------------- . (7)

n

Для приведенного выше примера:

m₁=±5.37; m₂=±7.21.

Следовательно, можно утверждать, что результаты измерений с ошибками первого ряда точнее результатов измерений с ошибками второго ряда.

Формула Гаусса даёт значение средней квадратической ошибки каждого непосредственного измерения применительно к любому результату из данного ряда измерений. Значение m всегда отражает влияние крупных по абсолютной величине случайных ошибок.

Однако не следует забывать, что практически любое измерение и любое вычисление характеризуется неизбежными погрешностями. В этом отношении не представляет никакого исключения и сам процесс вычисления среднеквадратической погрешности. В частности, погрешность вычисления средней квадратической погрешности может быть определена по формуле (без вывода):

. __

m_m = m /Ö2n. (8)

Из данной формулы следует, что чем больше n, тем меньше ошибка m_m, поэтому формула средней квадратической погрешности справедлива при большом числе измерений, в то время как при ограниченном числе измерений она недостаточна надёжна.

В частности, при 6 измерениях погрешность величиной, например, 2.4" сама оценивается средней квадратической погрешностью

__

m_m = ±2.4 /Ö12 = ±0.69", т.е. сопоставима с погрешностью единичного измерения.

С помощью теории вероятностей доказывается, что при достаточно большом числе измерений случайная ошибка измерения может превышать одинарную среднюю квадратическую погрешность m в 32 случаях из 100, двойную 2m в 5 случаях из 100, а утроенную 3m - в 3 случаях из 1000. Следовательно, очень маловероятно, чтобы случайная ошибка измерения получилась больше утроенной средней квадратичной. Поэтому утроенную среднюю квадратическую ошибку считают предельной. Однако в топографо-геодезической практике в качестве допустимой погрешности принята двойная величина средней квадратической погрешности, т.е.

D_доп. = 2 m. (9)

Средняя квадратическая погрешность функции непосредственно