Средняя квадратическая погрешность арифметической середины.

Пусть имеем среднее арифметическое результатов измерений

l₁ + l₂ +l₃ +...+l_n

х = --------------------,

n

Это можно представить:

l₁ l₂ l₃ l_n

х = ---- + ---- + ---- + ... + ---- . (27)

n n n n

Обозначим погрешность одного измерения через m, а погрешность арифметической середины через М.

К выражению (27) подойдём как к функции общего вида.

Вполне естественно, что все измерения являются равноточными (иначе нельзя вычислять арифметическое среднее), а потому

¶x ¶х ¶x ¶x 1

---- = ---- = ---- = ... = ---- = ---- .

¶1₁ ¶1₂ ¶1₃ ¶1_n n

Тогда, подставляя значения частных производных в основную формулу (26), получаем

1 1 1 1 m²n

M² = ---- m² + ---- m² + ---- m² + ...+ ---- m² = -----,

n² n² n² n² n²

откуда

M = m / Ön . (28)

или

M² = m²/n.

Следовательно, средняя квадратическая погрешность арифметической середины равноточных измерений в Ö n раз меньше средней квадратической погрешности отдельного измерения.

В таблице приведены значения отношений M/m для различных n:

Число измерений	1	2	3	4	5	7	10	15
Отношение погреш- ностей M/m	1	0.71	0.58	050	0.45	0.38	0.32	0.26

Отсюда следует, что существенное повышение точности арифметической середины происходит при увеличении числа измерений до 5-7. Дальнейшее увеличение числа измерений почти не ведёт к заметному улучшению результата.

В большинстве случаев практики истинные значения измеряемых величин, а следовательно, и истинные случайные погрешности неизвестны, поэтому в практике очень часто оценивают точность получаемого результата по отклонениям от арифметической середины. Саму арифметическую середину называют вероятнейшим значением результата, а эти отклонения - вероятнейшими погрешностями.

Пусть имеется ряд измерений l₁,l₂,l₃,...,l_n некоторой величины, истинное значение которой Х, а среднее арифметическое х=[l]/n.

Обозначим вероятнейшие погрешности через v, а истинные - через d. Тогда

d₁= l₁-X; d₂= l₂-X; d₃= l₃-X;...; d_n= l_n-X

v₁= l₁-x; v₂ = l₂-x; v₃ = l₃-x; ...; v_n= l_n-x.

Разница между d и v будет:

d₁-v₁= x-X=D; d₂-v₂= x-X=D; d₃-v₃= x-X= D; ...; d_n-v_n=x-X=D,

где D - некоторое постоянное число.

Откуда

d₁=v₁+D; d₂=v₂+D; d₃=v₃+D; ...; d_n=v_n+D,

Если возвести в квадрат каждое из последних равенств и сложить соответственно правые и левые части, в результате получим:

[dd]=[vv]+nD²+2D[v],

где

[v]=0 по свойству арифметической середины.

Поэтому [dd]=[vv]+nD², откуда, разделив на n, получим

[dd] [vv]

------ = ----- + D². (29)

n n

Вспоминая, что

m = Ö[dd]/n,(по определению), и вместо истинной ошибки среднего арифметического используя средне квадратическую погрешность M=m/Ön, перепишем (29) в виде

[vv] m² [vv]

m² = ---- + ---- , откуда m² = -----. (30)

n n n-1

Формула (30) даёт выражение средней квадратической погрешности одного наблюдения через вероятнейшие, т.е. по уклонениям от средней арифметической величины.

Используя выражение (30), можно получить ещё одну формулу для средней квадратической погрешности самой арифметической середины:

M²= [vv]/n(n-1). (31)

Задача 5. Измерен равноточно четыре раза угол В. Необходимо определить вероятнейшее значение угла, среднюю квадратическую погрешность одного измерения и среднюю квадратическую погрешность вероятнейшего значения, т.е. арифметического среднего.

№ п/п	Значение угла В	v	vv
1	520 21’ 05’’	+7.5	56.25
2	52 21 10	+2.5	6.25
3	52 21 20	-7.5	56.25
4	52 21 15	-2.5	6.25
Среднее	52 21 12.5		[vv] = 125.00

Средняя квадратическая погрешность одного измерения:

________ _______

m = ±Ö[vv]/(n-1) = ±Ö125.00/3 = ± 6.4"

Средняя квадратическая погрешность арифметической середины:

_________ _________

M = ±Ö[vv]/n(n-1) = ±Ö125.00/4 3 = ±3.2"