Измеренных величин.

1. Погрешность суммы двух измеренных величин.

Пусть измерены две величины l^I и l^II, в результате определяется третья величина, являющаяся их суммой.

х = l^I + l^II . (10)

Если истинное значение искомой величины обозначим через Х, а истинные значения измеряемых величин через L^I и L^II, то

Х = L^I + L^II . (11)

Предположим, что величина L^I была измерена n раз и в результате представлена рядом значений l₁^I,l₂^I,l₃^I, ..., l_n^I.

Аналогично для величины L^II получен ряд l₁^II,l₂^II,l₃^II, ... ,l_n^II.

На основании (10) имеем:

x₁= l₁^I + l₁^II; x₂= l₂^I + l₂^II; x₃= l₃^I + l₃^II; ... x_n= l_n^I + l_n^II. (12)

Вполне очевидно, что если перейти к погрешностям измерений, то будем иметь:

X-x₁=L^I-l₁^I + L^II-l₁^II; ... X-x_n=L^I-l_n^I + L^II-l_n^II или

D₁=d₁^I+d₁^II; ... D_n=d_n^I+d_n^II. (13)

Определяем среднюю квадратическую погрешность, для этого если возвести в квадрат все трёхчлены и просуммировать полученный результат, то получим:

[DD] = [d^Id^I] + [d^IId^II] + 2 [d^I d^II]. (14)

Разберём внимательно полученное выражение:

левая часть представляет собой сумму квадратов погрешностей результата;

правая часть:

первый член представляет собой сумму квадратов погрешностей первого слагаемого;

второй член представляет собой сумму квадратов погрешностей второго слагаемого;

третий член представляет собой удвоенное произведение погрешностей первого и второго слагаемых.

Если теперь всё равенство разделить на n

[DD] [d^Id^I] [d^IId^II] 2[d^I d^II]

----- =------- +--------+--------- , (15)

n n n n

то в левой части получим квадрат средней квадратической погрешности результата - суммы m_х², а в правой квадраты средних квадратических погрешностей каждого слагаемого - m_I² и m_II², а также третий член, стремящийся к нулю при возрастании n из-за разных знаков. То есть:

m_х² = m_I² + m_II² (16)

Таким образом, квадрат средней квадратической погрешности суммы двух независимых измерений равен сумме квадратов средних квадратических погрешностей слагаемых.

Нетрудно показать, что это утверждение справедливо и для разности двух измерений. В частном случае, когда имеем два равноточных измерения, т.е. m_x = m_I = m_II = m,

_

m_x =±mÖ2. (17)

В более общем случае, средняя квадратическая ошибка алгебраической суммы n измеренных равноточных величин в Ön раз больше средней квадратической ошибки одного слагаемого.

_

m_x = ±mÖn. (18)

Задача 1.Средняя квадратическая погрешность суммы двух равноточных углов равна 14". Найти среднюю квадратическую погрешность одного угла.

14=± m 1.41

Ответ: m =±9.93".

Задача 2.В треугольнике измерены два угла А и В со средними квадратическими погрешностями m_A=±3.4" и m_B = ±4.2". Определить среднюю квадратическую погрешность третьего, вычисленного угла m_C.

_______ ___________

m_C =±Öm_A²+m_B² =±Ö(3.4)² + (4.2)² =± 5.4".

2. Погрешность произведения непосредственно измеренной величины на постоянную величину.

Пусть дана функция

х = а l, (19)

где а- постоянное число; l-величина, полученная из измерений.

Предположим, что величина l измерена со средней квадратической погрешностью m_l и требуется определить среднюю квадратическую погрешность m_x величины х.

Если обозначить через L истинное значение измеренной величины l и через Х - точное значение функции х, то можно записать:

Х = а L. (20)

Пусть при измерении получен ряд значений l₁,l₂,l₃,...,l_n. Используя эти величины, напишем по формуле (20):

х₁=а l₁, х₂=а l₂, х₃=а l₃...х_n=а l_n.

Если Х-х_i=D_i и L-l_i=d_i, то

D₁ = а d₁; D₂ = а d₂; D₃ = а d₃; ...; D_n = а d_n ,

и сумма квадратов погрешностей результата будет

[DD]=a²[dd].

Разделив суммы на n и извлекая корень квадратный, получим

______ ______

Ö[DD]/n=a Ö [dd]/n ,

следовательно,

m_х=a m_l (21)

Таким образом, средняя квадратическая ошибка произведения постоянного на аргумент равна произведению постоянного на среднюю квадратическую ошибку аргумента. Если имеем функцию в виде многочлена, нетрудно доказать, что квадрат средней квадратической ошибки алгебраической суммы произведений постоянного на аргумент равен сумме квадратов произведений постоянного на среднюю квадратическую ошибку соответствующего аргумента.

Если имеем функцию в виде многочлена, нетрудно доказать, что квадрат средней квадратической ошибки алгебраической суммы произведений постоянного на аргумент равен сумме квадратов произведений постоянного на среднюю квадратическую ошибку соответствующего аргумента.

m_z²=(k₁m₁)²+(k₂m₂)²+(k₃m₃)²+...+(k_nm_n)². (22)

Задача 3.При определении длины окружности S её радиус r измерен со средней квадратической погрешностью m_r = ±1.2 мм. Найти среднюю квадратическую погрешность вычисленной длины окружности.

m_s = 2pm_r=6.28(±1.2)= ± 7.5 мм

Задача 4.Пятикратный угол измерен со средней квадратической ошибкой ±10". Найти среднюю квадратическую ошибку однократного угла.

m_5a

m_a= -------- = ± 2".

5

3.Средняя квадратическая погрешность функции общего вида непосредственно измеренных величин.

Пусть дана функция самого общего вида от многих переменных

х=f(l₁,l₂,1₃,...,l_n),

где l₁,l₂,1₃,...,l_n - непосредственно измеренные величины, имеющие соответственно погрешности d₁, d₂, d₃,..., d_n.

Если погрешность функции обозначить через Dx, то можно написать следующее равенство:

х+Dx =f(l₁+d₁,l₂+d₂,l₃+d₃, ...,l_n+d_n). (23)

Погрешности всегда малые величины по сравнению с измеряемыми, поэтому приращение функции можно рассматривать как общую погрешность функции и её можно разложить в ряд Тейлора. Если ограничиться первыми производными и первыми степенями ошибок, получим:

¶f ¶f ¶f ¶f

x+Dx= f(l₁,l₂,1₃,...,l_n) + ----d₁ + ----d₂ + ----d₃ +...+ ---- d_n (24)

¶l₁ ¶l₂ ¶l₃ ¶ l_n

Тогда приращение функции, или в нашем случае, погрешность

¶f ¶f ¶f ¶f

Dx= ----d₁ + ----d₂ + ----d₃ +...+ ---- d_n (25)

¶l₁ ¶l₂ ¶l₃ ¶ l_n

Возвышая равенство (25) в квадрат, отбрасывая за малостью удвоенные произведения и переходя к средне квадратическим погрешностям, получим:

ì ¶f ü² ì ¶f ü² ì ¶f ü² ì ¶f ü²

m_х=±Ö ½----½ m₁² + ½----½ m₂² + ½----½ m₃² + + ½----½ m_n², (26)

î ¶l₁ þ î ¶l₂ þ î ¶l₃ þ î ¶ l_nþ

Таким образом, средняя квадратическая погрешность функции общего вида равна корню квадратному из суммы квадратов произведений частных производных по каждому аргументу на среднюю квадратическую погрешность соответствующего аргумента.

Формула (26) является основной в теории ошибок - ею пользуются во всех случаях оценки точности функции, значения аргументов которых получены в результате непосредственных измерений. Нетрудно показать, что из неё как частные случаи могут быть выведены и все ранее полученные формулы (16),(17),(18),(21),(22).