Тема 4. Краткие сведения из теории погрешностей измерений.

Объём 2 часа.

4.1. Виды измерений.

При выполнении геодезических и маркшейдерских работ производятся измерения углов, расстояний, превышений и т.д. Под измерением некоторой величины Х понимают её сравнение с эталонной величиной q, принятой за единицу меры. Результатом измерения величины является число l, показывающее, сколько раз единица измерения укладывается в измеряемой величине. В общем случае число l может быть целым, дробным, большим или меньшим единицы.

Измерения могут быть непосредственными и косвенными. В первом случае производится непосредственное сравнение измеряемой величины с единицей меры. Во втором - необходимую величину получают при помощи вычислений, проводимых по другим непосредственно измеренным величинам. Примером косвенных измерений может служить вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника по измеренным катетам.

Если измерения некоторой величины производятся в однородной среде одним наблюдателем, одним и тем же инструментом, в одинаковых условиях, то их называют равноточными измерениями. В противном случае измерения называют неравноточными.

В количественном отношении измерения подразделяются на необходимые и избыточные (добавочные). Например, если некоторый отрезок прямой линии на местности измерен n раз, то необходимым является одно измерение, остальные n-1 измерения являются избыточными. Избыточные измерения выполняют очень важную роль:

-служат средством контроля и позволяют судить о качестве измерений;

-позволяют определять с большей точностью искомую величину.

4.2.Погрешности измерений, их виды и свойства.

Результаты измерений всегда содержат некоторую погрешность.

Под погрешностью (или ошибкой) d результата измерений l понимают разность:

d = l - X, (1)

где Х - точное (истинное) значение измеряемой величины.

Измерения, проводимые определенным прибором, по всей видимости не могут быть произведены с меньшей погрешностью, чем погрешность, обеспечиваемая самим прибором. Например, если измеряется расстояние мерным прибором (рулеткой), длина которого определена с погрешностью 0.1%, то нельзя получить конечный результат с погрешностью, скажем, 0.01%.

На практике все измерения следует проводить не с наибольшей достижимой точностью, а всегда с точностью, строго соответствующей поставленной задаче. Это очень важное методическое положение свидетельствует о разумном и квалифицированном подходе исполнителя, прежде всего потому, что позволяет не растрачивать впустую время и средства. Здесь уместно вообще напомнить, что в принципе любое, даже не очень большое, повышение точности всегда сопровождается дополнительными затратами, непропорционально возрастающими по мере дальнейшего повышения точности.

Ошибки измерений имеют весьма неприятное свойство накапливаться и вследствие этого получаются несогласия практических данных с теоретическими выводами. Эти несогласия называют невязками. Классическим примером является сумма углов всякого плоского многоугольника, которая как известно равна S= 180(n-2) . Однако в результате непосредственных измерений такого равенства почти никогда не удаётся получить и сумма измеренных углов оказывается больше или меньше теоретической, т.е. имеет место некоторая невязка.

Неизбежные ошибки измерений обычно малы, и их накопление подчиняется определенным законам, на основании которых можно установить предельные размеры невязок, допустимых в данном процессе измерений. Обнаруживаемые законы накопления неизбежных ошибок измерений и устанавливаемые пределы допустимых невязок являются предметом рассмотрения в теории ошибок.

Если полученные в процессе измерений невязки оставить, то при дальнейшей обработке результатов измерений могут получиться новые разногласия. При этом, естественно, возникнут сомнения относительно действительной причины новых разногласий. Вычислителю будет неизвестно, произошло ли расхождение результатов от неизбежных ошибок измерений или от небольшого промаха, допущенного при вычислениях. Подобные сомнения исключаются, если в результате специальной обработки результатов измерений устранить невязки, изменив результаты измерений так, чтобы они удовлетворяли теоретическим требованиям, например, чтобы сумма исправленных углов плоского многоугольника равнялась точно теоретической. Такое исправление называется увязкой, уравниванием или уравновешиванием измерений.

Исправление результатов измерений с целью приведения их в согласие с требованиями теории может быть сделано множеством способов, так что эта задача оказывается в принципе неопределенной. Вследствие этого налагают некоторые дополнительные условия для определения поправок в результаты измерений. Выбором указанных дополнительных условий определяется метод уравнивания.

На практике, выбирая дополнительные условия, стремятся не только удовлетворить требования теории, но и получить наиболее надёжные окончательные значения измеренных величин.

В этом отношении наиболее совершенным признаётся способ знаменитых математиков Лежандра и Гаусса, известный под названием способа наименьших квадратов. При этом способе дополнительное условие состоит в том, чтобы сумма квадратов искомых поправок была минимальна, т.е. менее, чем подобная сумма квадратов поправок, полученная любым другим путём. Поправки, найденные по этому способу, называют вероятнейшими. В науках, основанных на измерениях и наблюдениях, в частности, астрономии и геодезии, этот способ обработки измерений и получения из них наиболее надёжных результатов применяется уже более ста лет.

Погрешности, возникающие при измерениях, подразделяют на грубые, систематические и случайные.

При измерениях не должны появляться погрешности больше предела, установленного для данных условий. Однако иногда встречаются грубые погрешности, которые происходят от недостаточного внимания исполнителей при измерениях. Например, при измерениях линий лентой имеют случаи просчета лент, а при измерении углов - случаи просчета нескольких градусов или десятков минут. Грубые погрешности обнаруживают путём повторения измерения и сравнения их результатов. Если расхождения между результатами превысят заданный допуск, то эти измерения выбраковывают и производят заново.

К систематическим погрешностям относятся погрешности, вызываемые факторами, действующими одинаковым образом при нескольких повторных измерениях. Такие погрешности возникают в силу ряда причин:

- несовершенства приборов (инструментальные погрешности);

- действия внешних условий измерений (погрешности среды);

- действия личных качеств наблюдателя и др.

При рациональной организации измерений (наблюдений) и технических усовершенствованиях систематические погрешности удаётся исключить или свести к минимуму.

К случайным погрешностям относятся все остальные погрешности, исключить которые не представляется возможным. Например, при отсчёте по делениям линейки появляются случайные погрешности из-за неточности оценки на глаз долей интервалов между двумя штрихами линейки и др. Случайные погрешности носят такое название потому, что они в отдельных измерениях отличаются друг от друга, причём эти различия имеют случайный характер.

Точность проведённого измерения может быть оценена по абсолютной величине погрешности или по относительной погрешности. Например, при измерении углов удобной мерой точности является абсолютная величина погрешности, а при оценке измеренных расстояний - более удобна относительная погрешность.

Относительная погрешность d_отн. представляет собой отношение абсолютной величины погрешности d_абс. к измеряемой величине l, т.е.

d_абс

d_отн=--------- (2)

l

Относительная погрешность часто выражается в процентах.

В качестве примера рассмотрим два случая измерения расстояния: в обоих случаях абсолютное значение погрешности одинаковое и равно 1 см, однако длина первой линии равна 100 м, а второй - 1000 м. Если судить по абсолютным погрешностям, то создаётся впечатление, что точности обоих измерений одинаковы. Однако, если использовать понятие относительных погрешностей, то окажется, что для первой длины

d_{отн 1}= 1 см / 10 000 см = 1/10 000;

в то время как для второго случая

d_{отн 2}= 1 см / 100 000 см = 1/100 000.

Таким образом, точность измерения во втором случае на порядок (в десять раз) выше, чем в первом.

Если произвести достаточно большое число равноточных измерений какой-нибудь величины, точное значение которой наперёд известно, то можно составить ряд полученных при этом случайных ошибок. Изучение различных рядов измерений показывает, что под видом кажущегося отсутствия какой-либо закономерности в рядах, содержащих только случайные ошибки измерений, проявляется так называемая статистическая закономерность (закономерность массовых явлений). Она проявляется тем сильнее и отчётливее, чем большее число измерений содержит ряд. Сопоставлением рядов случайных ошибок равноточных измерений обнаружено, что случайные ошибки обладают следующими свойствами:

1. При измерениях равновероятно возникновение случайных погрешностей, равных по величине и противоположных по знаку.

2. Малые по абсолютной величине случайные погрешности встречаются чаще, чем большие.

3. При данных условиях измерений случайные погрешности по абсолютной величине не могут превосходить известного предела.

4. Среднее арифметическое из случайных погрешностей равноточных (одинаково точных) измерений стремится к нулю по мере возрастания числа измерений.

Последнее свойство вытекает из предыдущих. Действительно, взяв достаточно большой ряд измерений, можно ожидать, что в общей сумме ошибок всего ряда положительные ошибки будут компенсироваться отрицательными (поскольку те и другие равновероятны), вследствие чего значение суммы будет в пределе стремиться к нулю. В математической форме это выражается следующим образом:

Пусть имеется достаточно большое число измерений какой-либо величины l₁,l₂,l₃,...l_n. Истинное значение измеренной величины пусть Х. Тогда погрешности измерений будут:

d₁=l₁-X; d₂=l₂-X; d₃=l₃-X; ... d_n =l_n-X. (3)

lim(d₁+d₂+d₃+...d_n) = 0, (4)

или lim [d] / n = 0, (5)

n ® ¥

где [d] обозначает сумму отклонений измеренной величины от истинного значения той же величины, т.е. сумму случайных погрешностей.