- •8 Комбинаторика
- •Рис.1.1. Операции над множествами (не закончено)
- •Булевой алгеброй является и алгебра логических функций Дадим определение алгебре логических функций.
- •Таблица 2.1
- •Таблица 2.2
- •Таблица 2.3
- •Покрывающий их интервал соответствует элементарной конъюнкции
- •4.3.Проверка правильности рассуждений
- •4.4. Нормальные формы формул алгебры высказываний.
- •4.6. Решение логических задач методом характеристичесого уравнения.
- •Основные тавтологии алгебры высказываний
- •Всякое высказывание логична следует из самого себя.
- •Если из а следует b, а b ложно, то а тоже ложно.
- •4.3.Проверка правильности рассуждений
- •6.5. Машины Тьюринга
- •7.Элементы теории автоматов
- •8 Комбинаторика
что а) xϕ 1 =1, xφ 1 = x, xϕ 0 = x, xφ 0 = 0; б) для произвольного элемента x M в М
|
− |
− |
− |
= 0. Элемент |
− |
называется |
найдется такой элементx , что |
xϕ x |
=1, xφ x |
x |
|||
дополнением элемента x в множестве М. |
|
|
|
|
||
Исходя из этого определения, булевой является алгебра множеств |
|
|||||
<F( Ω), , ∩, |
>,т.к. операции , |
∩ обладают свойствами ассоциативности, |
дистрибутивности, коммутативности, а в качестве элементов 1 и 0 выступают универсальное множество Ωи пустое множество .
Булевой алгеброй является и алгебра логических функций Дадим определение алгебре логических функций.
Пусть Е={0,1}- двухэлементное множество. Обозначим через Р2 множество всех логических функций от п переменных. Рассмотрим на множестве Е следующие бинарные операции: дизъюнкция ( v) и конъюнкция ( ) , а так же унарную операцию дополнение. Зададим эти операции таблицами истинности , а именно:
Тип этой алгебры (2,2,1)
Заметим, что все алгебры типа (2,2,1) являются булевыми, если их операции удовлетворяют законам ассоциативности, коммутативности, дистрибутивности, поглощения и дополнения.
Алгебры с различными типами имеют существенно различное строение. Если же алгебры имеют одинаковый тип, то наличие у них сходства характеризуется с помощью вводимых ниже понятий гомоморфизма и изоморфизма.
Пусть даны две алгебры А = < M, ϕ 1., ϕ 2, …,ϕ m. > и В = < К, φ 1., φ 2, …,φ m. > одинакового типа. Гомоморфизмом алгебры А в алгебру В называется отражение
Г:К→М, при котором независимо от того, выполнена ли сначала операция ϕ в А и
затем произведено отображение Г либо сначала произведено отображение Г, а затем в В выполнена соответствующая операция φ , результат будет одинаковым.
Изоморфизмом алгебры А на алгебру В называется взаимно-однозначный гомоморфизм. В этом случае существует обратное отображение Г-1: М→К.
Алгебры называются изоморфными, если существует изоморфизм А на В и изоморфизм В на А.
Примеры
1.Рассмотрим алгебру < QN, + > на множестве всех целых чисел и алгебру < Q2N, + > на множестве всех четных чисел. Эти алгебры изоморфны, причем изоморфизмом является отображение Г: n →2n, удовлетворяющее условию: 2(a+b)=2a+2b.
2.Если R – множество действительных чисел, R+ - множество положительных действительных чисел, то изоморфизмом между алгебрами < R+, • >и R, + > является отображение Г: а→log(a), обладающее свойством: log(a•в) = log(a) + log(в).
Понятие изоморфизма является одним из важнейших понятий в математике. Распространенное выражение «рассматривать объекты с точностью до изоморфизма» означает, что рассматриваются только те свойства объекта, которые сохраняются при изоморфизме. В частности, изоморфизм сохраняет ассоциативность, коммутативность и дистрибутивность теоретико-множественных
операций и логических операций , ,¬, с которыми будем знакомиться
далее.
Понятие изоморфизма используется и в прикладных задачах. В частности, оно облегчает действия над множеством двоичных векторов, с которыми приходится иметь дело программисту.
Рассмотрим множество А = { а1,а2,…, аn }мощности n, элементы которого занумерованы числами от 1 до n. Пусть Вn – множество двоичных векторов длины n, состоящее из символов 1 и 0.
Каждому подмножеству Аэ А поставим в соответствие вектор v = (v1,v2,…,vn)
Вn следующим образом: vi= 0, если аi Aэ и vi=1, если аi Aэ
3. Логические функции (функции алгебры логики ).
3.1Способы представления логических функций.
3.2Суперпозиция и формулы
3.3. Булева алгебра логических функций
3.4Нормальные формы логических функций
3.5Полиномиальная форма Жегалкина логических функций.
3.6.Полнота и замкнутость
3.7Минимизация логических функций
3.8.Визуально-матричный метод минимизации логических функций.
3.1 Способы представления логических функций.
Пусть B = {0,1} – двухэлементное множество, а xi – двоичная переменная,
принимающая значение из В. Наиболее распространенная интерпретация двоичных переменных – логическая: “Да” – “Нет”, “истинно” – “ложно”, “1” – “0”, “и” – “л”.
Алгебра, образованная множеством В, вместе со всеми возможными операциями на нем, называется алгеброй логики. Функцией алгебры логики (или логической функцией) от n переменных называется n-арная операция на В.
Итак, логическая функция f (x1x2,...xn) - эта функция, принимающая значение
0,1, аргументы которой принимают значения из множества В. Другими словами, это функция вида: