Соединение графов

Эта операция была введена А.А. Зыковым. Пусть и – два одновременно неориентированных или ориентированных графа с непересекающимися множествами вершин. Соединение графов состоит из и всех рёбер в случае неориентированного графа (пар нестрого параллельных дуг в случае орграфа), соединяющих вершины из с вершинами из . В частности, , по определению полного двудольного графа. Эта операция иллюстрируется на рис. 2.2.8, где и .

Рис. 2.2.8

Операция соединения графов обладает следующими свойствами, которые следуют из её определения и свойств операции объединения:

1. для любых графов и – свойство коммутативности;

2. для любых графов , и – свойство ассоциативности.

Операцию соединения можно распространить по индукции на любое конечное число графов, все множества вершин которых различны: G₁+…+G_n–1+G_n=(G₁+…+G_n–1)+G_n.

Композиция (произведение) графов

Пусть и – два ориентированных графа с одними и теми же множествами вершин V. Композицией (иногда произведением) графов и называется ориентированный граф с множеством вершин V, в котором существует дуга тогда и только тогда, когда для некоторой вершины существуют дуги и .

Операция композиции может быть выполнена в матричной форме.

Теорема 2.2.4. Пусть и – два ориентированных графа с матрицами смежности вершин и соответственно. Тогда матрицей смежности вершин графа является матрица .

Пусть , и , – кратности данных дуг. Комбинируя эти дуги, можно образовать дуг . Полное число таких дуг выразится суммой . Причём, .

Таким образом, получаем, что .

Замечание. Из теоремы 2.2.4 видно, что композиция орграфов без кратных дуг может оказаться имеющей кратные дуги. При умножении матриц смежности вершин графов можно не учитывать кратности дуг и считать элементы матриц равными 0 или 1. Также иногда композицию определяют только для орграфов без кратных дуг. Если при этом требуется, чтобы композиция не содержала кратных дуг, то элементы её матрицы смежности вычисляются следующим образом:

.

То есть сложение заменяется логическим сложением, а умножение совпадает с логическим умножением. Это соответствует булевскому умножению матриц.

Операция взятия композиции графов обладает следующими свойствами, которые следуют из свойств умножения квадратных матриц:

1. существуют орграфы с одинаковыми множествами вершин и , такие, что – некоммутативность;

2. для любых орграфов , и с одними и теми же множествами вершин – ассоциативность.

Операцию композиции по индукции можно распространить на любое конечное число ориентированных графов с одними и теми же множествами вершин.

Декартово произведение графов

Пусть и – два одновременно ориентированных или неориентированных графа с непересекающимися множествами вершин. Декартовым произведением графов и называется граф с множеством вершин , в котором дуга (ребро), идущая из вершины в , существует тогда и только тогда, когда дуга (ребро) и j=l или когда существует дуга (ребро) и i=k.

Операция декартова произведения графов может быть выполнена в матричной форме.

Теорема 2.2.5. Пусть и – два одновременно ориентированных или неориентированных графа с непересекающимися множествами вершин, и – матрицы смежности их вершин соответственно. Тогда матрицей смежности вершин графа является матрица А порядка , в которой элемент , указывающий количество дуг (рёбер), соединяющих вершину с , вычисляется следующим образом:

,

где – символ Кронекера,– элементы матрицA₁ и A₂ соответственно, ,.

Доказательство теоремы следует из определения декартова произведения графов. Размерность матрицы А равна , а . Количество дуг (рёбер) с одновременным выполнением условия j=l равно , аналогично количество дуг (рёбер) с одновременным выполнением условия i=k равно . Наличие дуги (ребра) в определяется наличием соответствующей дуги в с условием j=l или в с условием i=k, что соответствует взятию максимального элемента из и для нахождения

Следствие.Если графы и не имеют кратных дуг (рёбер) и петля в неориентированном графе не считается двойной, то при вычисление элементов матрицы смежности вершин графа операция взятия максимального элемента соответствует вычислению логической суммы:

.

Замечание.Для упрощения и ускорения процесса вычисления элементов матрицы смежности вершинAграфа можно воспользоваться следующим наблюдением. Не ограничивая общности, будем считать, что . Упорядочим столбцы и строки матрицыAследующим образом: Тогда матрицуAможно разбить на блоков, соответствующих элементам матрицы , размерностью .

Для элементов , стоящих на диагонали блока, расположенного на диагонали матрицыA,i=kиj=l, поэтому и .

Для элементов, стоящих не на диагонали блока, расположенного на диагонали матрицы A, , но , поэтому и .

Для элементов, стоящих на диагонали блока, расположенного не на диагонали матрицы A, , поэтому и ,iиkпостоянны для данного блока.

Для элементов, стоящих не на диагонали блока, расположенного не на диагонали матрицы A, , поэтому и .

Пример 2.2.5.Выполнение операции декартова произведения графов изображено на рис. 2.2.10.

Рис. 2.2.10

Выделим группы вершин множества , компоненты которых совпадают. В рассматриваемом примере пять таких групп: две группы с совпадающими компонентами из множестваXи три группы, имеющие совпадающие компоненты изY. Согласно определению операции декартова произведения графов, множество дуг, инцидентных вершинам с совпадающими компонентами изX, определяется связями между вершинами множестваYи множество дуг, инцидентных вершинам с совпадающими компонентами изY, определяется связями между вершинами множестваX.

Очевидно, что соответствие между элементами множеств и определяет изоморфизм графов и , что справедливо и в общем случае.

Составим матрицы смежности вершин графов и .

Согласно следствию из теоремы 2.2.5 и замечанию, матрица смежности вершин графа имеет вид:

Нетрудно убедиться в том, что матрица смежности вершин А соответствует графу , изображённому на рис. 2.2.10.

Операция декартова произведения графов обладает следующими свойствами, которые следуют из определения и свойств операции декартова произведения множеств, для любых графов , одновременно ориентированных или неориентированных, с попарно не пересекающимися множествами вершин:

1. – свойство коммутативности;

2. – свойство ассоциативности.

По индукции определяется декартово произведение любого конечного числа графов, одновременно ориентированных или неориентированных, все множества вершин которых попарно не пересекаются:

.

С помощью операции декартова произведения вводится важный класс графов – n-мерные кубы.n-мерный куб определяется рекуррентно:

, , .

Очевидно, что – граф, содержащий вершин, которые можно представить (0,1)-векторами длиныnтаким образом, что две вершины будут смежны тогда и только тогда, когда соответствующие векторы различаются ровно в одной координате. Поскольку каждая вершинаn-мерного куба инцидентнаnрёбрам, то число его рёбер равно . На рис. 2.2.11 представлены кубы и .

Рис. 2.2.11