Объединение графов

Пусть и – произвольные графы. Объединением графов и называется граф со множеством вершин и множеством рёбер .

Операция объединения графов обладает следующими свойствами, которые следуют из её определения и свойств операции объединения множеств:

1. для любых графов и – свойство коммутативности;

2. для любых графов , и – свойство ассоциативности.

Операция объединения распространяется на любое конечное число графов по индукции: .

Операция объединения графов может быть выполнена в матричной форме.

Теорема 2.2.2. Пусть и – два графа (ориентированные или неориентированные одновременно), и пусть и – матрицы смежности вершин этих графов. Тогда матрицей смежности вершин графа является матрица А, полученная поэлементным взятием максимального элемента вспомогательных матриц А₁^ и А₂^. Матрицы А_i^, i=1,2, получаются из с помощью добавления нулевых строк и столбцов, соответствующих вершинам, отсутствующим в , но присутствующим в .

По определению графа его матрица смежности А имеет размерность . Построим вспомогательные графы и . Очевидно, что их матрицами смежности вершин будут и соответственно. Очевидно также, что . Для каждой пары вершин и из V в входит максимальное число рёбер, соединяющих их в и , что и определяет значение элемента матрицы А.

Следствие. Если элементы матриц смежности вершин и графов и принимают только значения 0 и 1, то операция взятия максимального элемента для нахождения матрицы смежности вершин графа соответствует логической сумме элементов.

Пересечение графов

Пусть и – произвольные графы. Пересечением графов и называется граф со множеством вершин и множеством рёбер .

Операция пересечения графов обладает следующими свойствами, которые следуют из определения операции и свойств операции пересечения множеств:

1. для любых графов и – свойство коммутативности;

2. для любых графов , , и – свойство ассоциативности.

Для того чтобы операция пересечения была всеобъемлющей, необходимо ввести понятие пустого графа. Граф G называется пустым, если его множество вершин пусто. Заметим, что в этом случае множество рёбер графа также пусто. Пустой граф обозначается символом  Пустой граф может быть получен в результате выполнения операции пересечения графов, у которых множества вершин, а следовательно, и множества рёбер, не пересекаются. Операция пересечения графов распространяется на любое конечное число графов по индукции: .

Операция пересечения графов может быть выполнена в матричной форме.

Теорема 2.2.3. Пусть и – два графа (ориентированные или неориентированные одновременно), и пусть и – матрицы смежности вершин этих графов. Тогда матрицей смежности вершин графа является матрица А, полученная поэлементным взятием минимума вспомогательных матриц и . Матрицы , i=1,2, получаются из с помощью удаления строк и столбцов, соответствующих вершинам, не вошедшим в .

По определению графа его матрица смежности вершин А имеет размерность . Построим вспомогательные графы и , множество вершин которых есть множество V, а множество рёбер определяется множествами и всех рёбер из и соответственно, инцидентных вершинам из множества V. Очевидно, что матрицы смежности вершин графов и могут быть получены соответственно из матриц и путём удаления строк и столбцов, соответствующих вершинам, не вошедшим в V. Очевидно также, что . Для каждой пары вершин и из V в входит минимальное число рёбер, соединяющих эти вершины в и , что и определяет значение элемента матрицы А.

Следствие. Если элементы матриц смежности вершин и графов и принимают только значения 0 и 1, то операция взятия минимального элемента для нахождения матрицы смежности вершин А графа соответствует логическому (обычному) произведению элементов.