91

2.2. Операции над графами и их свойства

Удаление вершины из графаGприводит к подграфу , содержащему все вершины графаG, за исключением , и все рёбра графаG, не инцидентные . Другими словами, есть максимальный подграф графаG, не содержащий .

Удаление ребра e_jиз графаGприводит к остовному подграфу, содержащему все рёбра графаG, за исключениемe_j, т.е.G–e_jесть максимальный подграф графаG, не содержащийe_j.

Удаление произвольного множества вершин или рёбер из Gопределяется как последовательное удаление всех элементов этого множества.

Если и не смежны вG, тодобавление ребра () образует наименьший надграф графаG, содержащий ребро ().

Эти понятия иллюстрируются на рис. 2.2.1.

Рис. 2.2.1

Существуют графы, для которых результат удаления вершины или ребра, а также добавления ребра не зависит от выбора вершины или ребра. Для графаG, обладающего этим свойством, обозначим соответствующие графы черезG–v,G+e, см. рис. 2.2.2.

Рис. 2.2.2

Введём операцию подразделения ребра графаG(V,E). Пусть – произвольное ребро этого графа иw– некоторый объект, не принадлежащий множествуV. Операция подразделения ребра заключается в построении графа , множество вершин которого , а множество рёбер содержит все рёбра исходного графа, за исключением выделенного ребра , и два дополнительных новых ребра:

Граф называетсяподразделением графа , если он может быть получен из графа путём применения конечного числа операций подразделения рёбер.

Обратная подразделению ребра графа операциясостоит в замене двух рёбер, инцидентых вершине второй степени, одним ребром при удалении этой вершины.

Графы и называются гомеоморфными (обозначение G₁G₂), если существуют такие их подразделения, которые изоморфны. Другими словами, два графа гомеоморфны, если они изоморфны с точностью до вершин второй степени. На рис. 2.2.3 изображены два неизоморфных графа и . Эти графы гомеоморфны, т.к. каждый из них может быть подразделён до графа G.

Рис. 2.2.3

Естественно стремиться представить структуру рассматриваемого графа с помощью графов меньшего размера и более простой структуры. Операции над графами позволяют образовывать новые графы из нескольких более простых.

Дополнение графа

ПустьG(V,E) – обыкновенный граф. Дополнение графа G (также обыкновенный граф) имеет в качестве множества вершин множество V, любые две несовпадающие вершины в смежны тогда и только тогда, когда они не смежны в G. На рис. 2.2.4 изображены графы , и их дополнения и соответственно.

Рис. 2.2.4

Очевидно, что и тогда и только тогда, когда .

Граф, изоморфный своему дополнению, называетсясамодополнительным. Например, и граф, изображённый на рис. 2.2.5, – самодополнительные.

Рис. 2.2.5

Теорема 2.2.1. Пусть G – обыкновенный граф с матрицей смежности вершин А. Тогда матрицей смежности вершин графа является матрица , образованная поэлементным логическим отрицанием матрицы А, исключая диагональные элементы, которые остаются нулевыми.

Если число вершин графа G равно p, то матрицы А и имеют одинаковую размерность . Если G – неориентированный обыкновенный граф, то элемент () матрицы А равен 1, если вершины и смежны, и 0 в противном случае. Так как и () смежны в тогда и только тогда, когда они не смежны в G, то равно 1 (0) в тогда и только тогда, когда равно 0 (1) в А.

Если G – обыкновенный орграф, то элемент () матрицы А равен 1, если существует дуга в G, и 0 в противном случае. Элемент () в равен 1 (0) тогда и только тогда, когда не существует (существует) дуга в G, т.е. элемент равен 0 (1) в А.

в А и в , т. к. G и – обыкновенные графы.

Пример 2.2.1. Матрицы смежности вершин А графа и графа , изображённых на рис. 2.2.4, имеют вид:

, .

Правильность построения матрицы можно легко проверить по рис. 2.2.4.