6.2 Центр та окіл кривизни

Центр та окіл кривизни. У багатьох дослідженнях буває зручно наближено замінити деяку лінію поблизу розглядаємої точки кола, яка має ту же кривизну, що і дана лінія в цій точці.

Колом кривизни лінії у заданій на ній точці М₀ (рис. 18 ) називається коло, яке: 1) дотикається лінії в точці М₀; 2) направлена ввігнутістю в цій точці в ту ж сторону, що і дана лінія; 3) має ту ж кривизну, що і дана лінія у точці М₀ . Центр С побудований окружністю називається центром кривизни, а її радіус - радіусом кривизни.

Рис. 18

Із визначення ясно, що радіус кривизни R знаходиться по формулі

, (6.11)

звідки К= або , де - одиничний вектор нормалі (див. рис. 16).

3. Еволюта та евольвента

Множина всіх центрів кривизни даної лінії утворює лінію, яку називають еволютою. По відношенню до своєї еволюти дана лінія називається евольвентою.

Щоб скласти рівняння еволюти по її евольвенті, знайдемо координати центру кривизни. Візьмемо на лінії у= f(х) фіксуючу точку М₀ (х₀ , у₀) (рис. 18) і побудуємо для неї центр кривизни С (Х,У). Рівняння нормалі СМ₀ має вигляд

(6.12)

Так як точка С лежить на нормалі, то її координати повинні задовільняти рівнянню (6.12):

(6.13)

З другого боку, відстань між точками С(Х, Y) та М₀(х₀, у₀) дорівнює радіусу кривизни R, тобто.

(6.14)

У результаті сумісного рішення (6.13) і (6.14), знаходимо

(6.15)

У силу співвідношень (6.11) і (6.8) маємо

,

тоді рівності (6.15) приймуть вигляд

,

(6.16)

.

Якщо тепер знайти координати центру кривизни для будь-якої точки М (х,у), де х,у - текучі координати, то, визначаючи через і , отримаємо параметричні рівняння еволюти з параметром х:

(6.17)

Для кривої, задаючої параметричними рівняннями х=х(t) та у=у(t), з рівнянь (6.17) легко отримати рівняння еволюти з параметром t:

(6.18)

3. Кривизна просторової лінії.

У тривимірному просторі крива може бути задана за допомогою радіуса-вектора , де х (t), у (t), z (t) - координати змінної точки М (х,у,z), виражені через параметр t, а - одиничні вектори, направлені відповідно по осям О_х, О_у, О_z (рис. 19).

Рис. 19

Приймемо за параметр t довжину дуги l та продиференцюєм по l. Як і в плоскому випадку, отримаєм одиничний вектор дотичної до кривої:

(6.19)

Похідна від по l називається вектором кривизни:

(6.20)

Довжина вектора кривизни дорівнює кривизні лінії, тобто , де R - радіус кривизни. Як і в плоскому випадку, . Нехай - одиничний вектор нормалі, тоді

(6.21)

Напрямок вектора називається напрямком головної нормалі кривої . Введемо ще один вектор одиничної довжини, перпендикулярний площині векторів та :

. (6.22)

Вектор називається одиничним вектором бінормалі.

Три одиничних вектора , і мабть ту ж орієнтацію, що і координатні осі, і утворюють змінний тріедр, пов’язанний із кривою. Якщо крива є плоскою, то вона повністю лежить у площині векторів та . У цьому випадку вектор бінормалі - посібний вектор одиничної довжини, перпендикулярний площині кривої. Якщо ж крива не є плоскою, то похідна характеризує відхилення кривої від плоскої форми і називається вектором кручення. Можна показати, що вектор кручення паралельний головній нормалі, тобто || . Тоді по аналогії з (6.21) можна записати

, (6.23)

де: називається крученням кривої, а p радіусом кручення. Кручення кривої , у протилежність кривизні , може бути не тільки додатньою, але і від’ємною велечиною.

Виведемо формулу для обчислення кривизни. Запишем вектори в координатній формулі:

;

;

.

Отже, кривизну можна обчислити за формулою

. (6.24)

Можна також вивести формулу для кручення та радіусу кручення:

. (6.25)

Контрольні запитання:

1. Що вивчає сферична геометрія?

2. Які задачі розв'язує сферична тригонометрія?

3. Як визначається найкоротша відстань на поверхні сфери?

4. Що таке полюс та поляра?

5. Що таке сферичний центр та сферичний радіус малого кола?

6. Як визначається положення точки у географічній сферичній системі координат?

7. За якими формулами обчислюється лінійна величина дуги великого та малого кіл?

8. Сферичний кут та його міра?

9. Сферичний двокутник та його елементи?

10. Сферичний трикутник та його елементи?

11. Обмеження Ейлера.

12. Подібні сферичні трикутники.

13. Рівність сферичних трикутників.

14. Симетричні сферичні трикутники та їх властивості.

15. Спряжені сферичні трикутники.

16. Взаємно полярні сферичні трикутники та їх властивості.

17. Класифікація сферичних трикутників.

18. Співвідношення між сторонами та кутами сферичного трикутника.

19. Сферичний надлишок (ексцес) та границі його зміни.

20. Як обчислюється площа сферичного трикутника?

21. Як читається формула косинуса сторони сферичного трикутника?

22. Як читається формула косинуса кута сферичного трикутника?

23. Яка залежність визначається теоремою синусів?

24. Як читається формула добутку синуса сторони на косинус прилеглого кута (формула п'яти елементів)?

25. Як читається формула добутку синуса кута на косинус прилеглої сторони (змінена формула п'яти елементів)?

26. Як читається формула котангенсів (формула чотирьох елементів)?

27. Прямокутний сферичний трикутник та його елементи.

28. Мнемонічне правило Непера та умови його застосування.

29. Шість випадків розв'язання прямокутних сферичних трикутників.

30. Як розв'язуються прямосторонні сферичні трикутники?

31. Косокутні сферичні трикутники.

32. Шість випадків розв'язку косокутних сферичних трикутників.

33. У яких випадках неможливо розв'язати косокутний сферичний трикутник?

34. За якими формулами розв'язується косокутний сферичний трикутник, якщо задані три сторони?

35. За якими формулами розв'язується косокутний сферичний трикутник, якщо задані три кути?

36. Що виражають аналогії Непера?

37. За якими формулами розв'язується косокутний сферичний трикутник, якщо задані дві сторони та кут між ними?

38. За якими формулами розв'язується косокутний сферичний трикутник, якщо задані сторона та два прилеглих до неї кути?

39. Формули для обчислення сферичного надлишку.

40. Як обчислюється сферичний радіус малого кола, вписаного у даний сферичний трикутник?

41. Як обчислюється сферичний радіус малого кола, описаного навколо даного сферичного трикутника?

42. Малі сферичні трикутники.

43. Теорема Лежандра та її значення.

44. Розв'язання малих сферичних трикутників за теоремою Лежандра.

СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. Волынский Б.А. Сферическая тригонометрия. - М.: Наука, 1977.- 135 с.

2. Кашкаха В.Е., Откидач В.В. Сферическая тригонометрия и вычислительные методы в маркшейдерском деле. - Донецк: ДонГУ, 1984. -112 с.

3. Матвиевская Г.П. Становление плоской и сферической тригонометрии. Из истории математических идей. - М.: Знание, 1982.-64 с.

4. Пандул И.С. Сферическая тригонометрия и сферическая астрономия применительно к решению инженерно-геодезичес­ких задач. - Л.: ЛГИ, 1982. - 99 с.

5. Сандраков П.В. Решение сферических треугольников. -Пермь: ПермПИ, 1970. - 81 с.

49