16. Екі еселі интегралды көлем, аудан есептеуге қолдану.
1)
Дененің көлемі: Егер
D аймағында
болса, онда цилиндрлік дененің
(цилиндроидтың) көлемі
формуласы
бойынша есептеледі. Егер D
аймағында
болса, онда
Мысал
5
І-ширекте орналасқан және,
,
беттерімен шенелген дененің көлемін
есептеу керек.
Шешуі
.
.
2) Жазық
фигураның ауданы: D
аймағымен шенелген жазық фигураның
ауданы
.
Егер D облысы
теңсіздіктері
арқылы берілген болса, онда осы аймақтың
ауданы
формуласы
бойынша есептеледі. Егер D аймағын
полярлық координаттар жүйесінде алсақ,
яғни,
болса, онда
.
Мысал
7
D:
сызықтармен шенелген жазық фигураның
ауданын есептеу керек.
Шешуі Сызықтардың қиылысу нүктелерін табамыз.
.
Сондықтан
.
17.Үш еселі Риман интегралында айнымалыны ауыстыру. Цилиндрлік және сфералық координат системалары.
иыны
беріліп, f(x) функциясы
жиынында Риман бойынша интегралдансын.
Салдар бойынша
үшін
де орындалады:
,
демек,
,
яғни
Бұдан
(3) лемма бойынша
(4)
Функциясы жиынында Риман бойынша интегралданатын болғандықтан , теорема бойынша
(5)
жиынының
әр A=
кубына
(6) теңдігін қоланып,
теңдігіне келеміз, ал интегралдың аддитивтік қасиеті мен жиынының анықтамасы бойынша бұдан
теңдігі шығады .Сондықтан (1) және (5) бойынша және (4) белгілеуін ескере отырып
теңдігіне
келеміз. Осыдан теорма толық дәлелденді.
Бірнеше
x=g(y) түрлендіру үшін
якобианы есептеліп, көлем
элементі
деп аталатын
өрнегі
жазылады.
кеңістігінде
Декарттық
(x,y,z)
координаталарынан сфералық
деп аталатын (r
)
координаталарына
көшуді бейнелейтін g
функциясының
якобианы
Сондықтан
көлем элементі
болады.
кеңістігінде
Декарттық (x,y,z) координаталарынан цилиндрлік деп аталатын (r ) координаталарына көшуді бейнелейтін g функциясының якобианы
Сондықтан
көлем элементі
болады.
18. Бірінші түрдегі қисықсызықты интеграл.
Бірінші
түрдегі қисық сызықты интеграл - бір
айнымалы Риман интегралының жалпылауы.
Бір айнымалы Рмиан интегралының
S-тіліндегі анықтамасы:
функциясы
сегменінде анықталсын. Егер қасыбір
нақты сан мен әр
оң саны үшін
n
-
1
…,
N) болған сайын
<
болатындай оң саны табылса, онда функциясы сегменінде интегралданады, санын оның интегралы деп атайды да, ол үшін
(1)
Белгілеуі қолдагылады.
Қисық
ұғымын қолданып, бұл анықтаманы былай
жалпылауға болады.
үзіліссіз
дифференциалданатын жай қисығы беріліп,
:
Жиынында
нақты мәнді функциясы анықталсын. Әр
үшін
қисығының
нүтелер арасындағы бөлігінің ұзындығы
(2)
болады.
сегменің
n
бөлшектеуі
берілсін. Онда
үшін
айырымы
қисығының
-
1
және
.
нүктелерін жалғайтын бөлігінің ұзындығы
болады. Осы дайындықтан кейін, мақсатымыз
болатын анықтамаға тікелей көше аламыз.
Егер
қасыбір
нақты сан мен әр
оң саны үшін
n
-
1
…,
N) болған сайын
<
болатындай оң саны табылса, онда функциясы қисығында интегралданады, ал санын оның интегралы дейді де
(3)
белгілеуі
қолданылады. (3) интегралы бірінші
түрдегі қисықсызықты интеграл
деп атайды. Егерде
сегменінде анықталған
функциясын жазықтықта жатқан
қисықтың бейнесі болатын
сегменінде анықталған
функция ретінде қарастырсақ, онда (3)
анықтамасы (1) анықтамасына айналады.
Сөйтіп бірінші
түрдегі қисық сызықты интеграл анықтамасы
бір айнымалы функцияның интеграл
анықтамасының жалпылауы болады.