14.Жордан өлшемді жиындар үшін екі еселі Риман интегралы. Қасиеттері.

Жазықтықта шенелген Ω жиыны беріліп нақты мәнді функциясы Ω жиынында анықталсын. Мақсатымыз - Ω жиыны бойынша алынған

(1)

Интегралын анықтау. Ω жиыны үшбұрыш,дөңгелек т.б.фигуралар болу мүмкін.

(1)түріндегі интегралдың анықтамасы А тіктөртбұрышы бойынша анықталған Риман интегралына былай келтіріледі. Ω⊂R² Жордан бойынша өлшенетін жиын болсын. Ω⊂А болатындай А тіктөртбұрышын алайық. R² жиынында А жиынында да f_Ω функциясын былай анықтайық:

f_Ω(x,y)= (2)

мұндағы теңдікті f_Ω(x,y)=f(x,y)X_Ω(x,y) көбейтінді түрінде бейнелеуге болады.

Егерде dxdy (3)

Интегралы бар болса, онда f(x,y) функциясы Ω жиынында Риман бойынша интегралданады, (3) санын функцмясының Ω жиыны бойныша алынған интегралы деп,(1)символымен белгілейді.

Ал f_Ω(x,y) функциясы А жиынында интегралданбаса, онда функциясы Ω жиынында интегралданбайды дейді.

Ω жиынында =1 тұрақты функциясы интегралдануы үшін Ωжиының Жордан бойынша өлшенетін жиын болуы қажетті де сонда

Теңдігі орындалады. Сол себептен де (1) интеграл анықтамасына Ω жиыны Жордан бойныша өлшенуі туралы деп қойылған.

1. Сызықтық қасиеті

Егер және функциялары Жордан бойынша өлшенетін жиынында интегралданса, яғни

_Ω

интегралдары бар болса, онда әр с₁ және с₂ нақты сандары үшін с₁ _Ω және с₂ _Ω функциялары, сонымен бірге олардың қосындысы да А тіктөртбұрышында интегралданып

_{Ω Ω Ω Ω Ω Ω}

2. монотондық қасиеті

Егер Жордан бойынша өлшенетін өлшенетін жиынында интегралданатын және функциялары беріліп, әр үшін болса, онда

теңсіздігі орындалады.

Расында да, болғанда, _Ω болып,

_{Ω Ω}

болады, ал болғанда _Ω болып,

_{Ω Ω}

болады, демек, әр үшін

_{Ω Ω}

Сондықтан

_{Ω Ω}

Сондай-ақ _Ω = _Ω болғандықтан,

_{Ω Ω Ω}

4 теорема. Жазықтықта Жордан бойынша өлшенетін жиыны мен оның Жордан бойынша өлшенетін жиындарына жіктеу берілсін. Онда Ω жиынында анықталған f(x) шенелген функциясы Ω жиынында интегралдануы үшін оның әр (k=1,…,N) жиынында интегралдануы қажетті де жеткілікті. Сонда

= (1)

Теңдігі орындалады.

15. Екі еселі интегралды қайталанған интегралдарға келтіру. Фубини теоремасы.

Тh:ƒ(x,y) функциясы A=[a,b]*[c,d] тіктөртбұрышында Риман бойынша интегралдансын. Онда әр a≤x≤b үшін = ƒ(x,y) функциясының [c,d] сегментіндегі төменгі және жоғарғы интегралдарына сәйкес (x)= (x,y)dy және (x)= (x,y)dy (1) функцияларының әрқайсысы [a,b] сегментінде интегралданып,

= (x,y)dy]dx (2) және

= (x,y)dy]dx (3) теңдіктері орындалады.

Дәлелдеуі: Әуелі ={a= ≤ ≤…≤ =b} және ={c= ≤ ≤…≤ =b} бөлшектеулері бойынша құрылған А тіктөртбұрышының P=( ) бөлшектеуі үшін L(ƒ,P)≤L( , ) (4) болатынын дәлелдейік.

L(ƒ,P)= (ƒ)Δ Δ ,

L( , )= ( )Δ . Әр xϵ[ , ] үшін ƒ(x,y)= (y) белгілеуін ескереміз. Демек, (ƒ)Δ саны (x) функциясының [ , ] сегментіндегі төменгі шекаралары және де шекараларының бірі ғана, ал ( ) инфимумы төменгі шекараларының ең үлкені болғандықтан, (ƒ)Δ ≤ = ( ).

Сондықтан

L(ƒ,P)= (ƒ)Δ ) Δ ≤ ( )Δ = L( , ), яғни (4) дәлелденді. Жоғарғы қосындылар үшін U( )≤U(ƒ,P) (5) теңсіздігі де осылай дәлелденеді. Жоғарғы интеграл төменгі интегралдан әрқашанда кем болмайды, сондықтан (1) бойынша әр xϵ[ , ] үшін (x) ≤ (x) ≤sup (x)= ( ). Сөйтіп, ( ) ≤ ( ). Әр i үшін бұл теңсіздікті Δ ≥0 санына көбейтіп, сонан соң сол теңсіздіктердің бәрін қосып,

U( , )= ( )Δ ≤ ( )Δ =U( ) (6) теңсіздігіне келеміз. Әрқашанда орындалатын L( , )≤U( , ) теңсіздігіне қоса (4),(5),(6) теңсіздіктері бойынша әр , P= ) бөлшектеулері үшін

L(ƒ,P) ≤ L( , ) ≤ U( , ) ≤ U( ) ≤ U(ƒ,P) (7) демек

0≤ U( , ) - L( , ) ≤ U(ƒ,P) - L(ƒ,P) (8).

Бұдан интеграл анықтамасы мен интегралдану критерийлері бойынша дәлелдеу керек болатын (2) теңдігіне келеміз.Теорема шарты бойынша ƒ(x,y) функциясы А жиынында Риман бойынша интегралданады, демек, екі айнымалы функция интегралдануының критерийі бойынша ε оң саны үшін 0≤U(ƒ,P*) - L(ƒ,P*)<ε болатындай Р*=( *, *) бөлшектеуі табылады. Демек, (8) бойынша 0≤ U( , *) - L( , *) ≤ ε, сондықтан бір айнымалы функция интегралдануының критерийі бойынша (x) функциясы [a,b] сегментінде интегралданады. Енді (2) теңдігін дәлелдейік. Интеграл анықтамасы мен (7) бойынша әр ε оң саны үшін dxdy-ε≤L(ƒ, )≤L( , )≤ (x)dx≤U( , )≤U(ƒ, )< dxdy + ε болатындай =( , ) бөлшектеуі табылады. Сол себептен dxdy - (x)dx |< ε, ал бұдан (2) теңдігі шығады. (3) теңдігі дәл осы әдіспен дәлелденеді.