12.Тіктөртбұрыштар үшін екі еселі Риман интегралы.

f(x,y) функциясы А=[a,b]×[c,d] тіктөртбұрышында анықталған және шенелген болсын.

Барлық мүмкін U P₁,P₂жоғарғы қосындылардан құрылған сандар жиынының инфимумы жоғарғы интеграл, ал L(P₁,P₂;f) төменгі қосындылардан құрылған сандар жиынының супремумы төменгі интеграл деп аталып, сәйкес

f(x,y) dxdy және f(x,y) dxdy түрінде белгіленеді. Сонымен

f(x,y) dxdy = U (P₁,P₂;f), (1)

f(x,y) dxdy = L(P₁,P₂;f). (2)

m𝑣(A) ≤L(P,f)≤U(P,f)≤M𝑣(A) теңсіздігі мен (1),(2) анықтамалары бойынша

m(A)≤ f(x,y) dxdy ≤ M𝑣(A),

m(A)≤ f(x,y) dxdy≤ M𝑣(A).

Сонымен әр шенелген f функциясының төменгі де, жоғары да интегралдары әрқашанда бар және олар нақты сандар.

Бір айнымалы функция жағдайындағы сияқты, әрқашанда

f(x,y) dxdy ≤ f(x,y) dxdy болатыны дәлелденеді.

А=[a,b]× [c,d] тіктөртбұрышында анықталған және шенелген f(x,y) функциясы үшін

f(x,y) dxdy = f(x,y) dxdy теңдігі орындалады, онда

f(x,y) функциясы A тіктөртбұрышында Риман бойынша интегралданады деп, ал жоғарғы және төменгі интегралдардың ортақ мәні f(x,y) А-дағы интегралы деп аталып ,

f(x,y) dxdy не f(x,y) dxdy

символымен белгіленеді. Бұл белгілеудегі dxdy өрнегі 𝑣(A_ij)= x_i y_i көбейтіндісін береді. Сонда d𝑣=dxdy деп алып, интегралды

f(x,y) d𝑣 = fd = fd𝑣

ықшам түрінде белгілейміз.

13.Тіктөртбұрыштар үшін екі еселі Риман интегралы қасиеттері.

1 теорема. Егер f функциясы А тіктөртбұрышында интегралданса, онда әрбір с нақты саны үшін c*f функциясы да сол жиында интегралданады да (1) теңдігі орындалады.

Дәлелдеуі. Егер c=0 болса, онда (1) теңдігінің орындалуы айқын, өйткені оның екі жағы да нөлге айналады. Енді c<0 болсын. Әр P=( )бөлшектенуі үшін

Дәл осылай , сондықтан, сондай-ақ . Бұдан f функцияның интегралданатынын ескере отырып, сол сияқты болатынын көреміз. Сол себептен яғни cfфункциясы расында да интегралданып, (1) теңдігі орындалады. Енді c>0 қалды. Теореманың дәлелденген бөлігін екі рет қолданып, әуелі (-c)f, сонан соң (-1) (-c)f=cf функциясы интегралданып, ,теңдігі орындалатын көреміз. Теорема толық дәлелденді.

2 теорема. Егерде және функциялары А тіктөрт-да интегралданса, онда сол жиында олардың қосындысы да интегралданып, (2)

теңдігі орындалады.

3 теорема. тіктөртбұрышында интегралданатын функциялары мен нақты сандары берсін. Онда функциясы да А жиынында интегралданып

, теңдігі орындалады.

Интегралдың аддитивтік қасиеті. 4 теорема. A=[ Тіктөртбұрышы мен оның бөлшектеуі берілсін. f Функциясы А жиынында анықталған және шенелген болсын. Онда f функциясы A тіктөртбұрышында Риман бойынша интегралдану үшін f функциясы әр (i=1,…,k; j=1,…,l) тіктөртбұрышында интегралдануы қажетті және жеткілікті. Бұл жағдайда теңдігі орындалады.

3.Теңсіздіктерді интегралдау.Орташа мән туралы теоремалар. 5 теорема. Егерде А тіктөртбұрышында және функциялары интегралданып, әр (x,y) үшін теңсіздігі орындалса, онда болады. Соның ішінде, егер А тіктөртбұрышында f функциясы интегралданып, әр (x,y) үшін f(x,y) болса, онда . Дәлелдеуі. f(x,y)= Болсын, онда әрбір (x,y) үшін теңсіздігі орындалады. 3 – теорема бойынша f функциясы А жиынында интегралданады. Кез келген P=( ) бөлшектеуі үшін (i=1,…,k; j=1,…,l) ,U(P,f)=

демек, ,яғни (23), сонымен бірге (22) – де дәлелденді.

6 теорема. a<b Және c<d сандары беріліп, A=[a,b]*[c,d],тіктөртбұрышында f функциясы интегралдансын. Егерде қайсыбір m және M сандары мен әрбір (x,y) үшін m болса, онда (24) теңдігі орындалатындай саны табылады. Егерде f функциясы А жиынында үзіліссіз болса, онда саны ретінде функцияның мәнін алуға болады, яғни қайсыбір ( үшін ( ) .

7 – теорема. Егерде f функциясы А тіктөртбұрышында интегралданса, онда функциясы А жиынында интегралданып , теңсіздігі орындалады.