6.Күрделі функцияның диффер–уы туралы теорема.
f(x)≡f(
,…,
)
сандық функ-сы Е⊂
ашық жиынында анықталып, T⊂
ашық жиынында ан-ған
(t)≡
(
,…,
),…,
(t)≡
(
,…,
)
функциялары үшін келесі шарт орындалсын:
әрбір t
T
үшін (
(t),…,
(t))
E.
Онда T
t
f(
(t),…,
(t))
≡
(t)
сәйкестігі T жиынында анықталған ψ
күрделі функциясын анықтайды.
Теорема.f(x)=f(
,…,
)
сандық функциясы Е⊂
ашық ж-да ан-п, T⊂
ашық жиынында анықталған
(t),…,
(t)
сандық функциялары үшін t
T
болған сайын (
(t),…,
(t))
E
болсын. Егер b≡(
,…,
)
T
нүктесінде
(j=1,…,m)
айнымалысы бойынша
(b),…,
(b)
дербес туындылары бар болып, ал
a≡(
(b),…,
(b))
E
нүктесінде f функциясы дифференциалданса,
онда
(t)=
f(
(t),…,
(t))
күрделі функциясының t=b нүктесінде
айнымалысы бойынша дербес туындысы бар
болып,
(b)=
(a)
(b)+…+
(a)
(b)
(9)теңдігі орындалады.
Дәлелделуі.
теореманы әуелі n=3, m=2,j=1 жағдайында
дәлелдейік.Сонымен,ψ(
,
)≡f(
(
,
),
(
,
),
(
,
))
функциясы үшін
(
,
)≡
(10)
Нақты
мәнді шегі бар екендігін көрсетіп, мәнін
табуымыз керек. f функциясы a=(
,
,
)
(
=
(
,
)(i=1,2,3))
f=(
,
,
)-f
(
,
,
)=
(a)(
-
)
+
(a)(
-
)+
(a)(
-
)+
(x)(
-
)+
(x)(
-
)+
(x)(
-
),
(11)
(x)=0(i=1,2,3)
(12)
Теңдіктері
орындалатын
(x)(i=1,2,3)
ф-ры
табылады.
Тағы да теорема шарты бойынша:
=
(
,
)
(13)
Сол
себептен
=
(
;
i=1,2,3),
демек,
(12) бойынша
(
)≡
(
,
,
)
(
.
(14)
Сондықтан,
=
(i=1,2,3) екенін ескере отырып,
≡
үшін (11),(13),(14) бойынша
=
[
,
,
)-f(
,
,
)]
[
(a)+
(
)]
+
(a)+
(
)]
+
(a)+
(
)]
(a)
(b)+
(a)
(b)+
(a)
(b),
(
),яғни,(10)
бойынша қарастырылып отырылған жағдайда
(9) теңдігі дәлелденді.
Жалпы
жағдайда дәл осы жолмен f(
,…,
)-f(
,…,
)=
(a)(
-
)+…+
(a)(
-
)+
(x)(
-
)+…
(x)(
-
)
теңдігінде
≡
≡
),
(
)
≡
(
)
деп алып және
=
екенін ескере отырып,
≡
=
[
f(
,…,
)]=
]
өрнегінде
0
шекке көшіп, дәлелдеу керек болатын (9)
теңдігіне келеміз.Теорема дәлелденді.
7. Бағыт бойынша туынды. Градиент.
Fфункциясы а нүктесінің белгілі бір δ-маңайында анықталған делік.Егер ϑ=(cos ,cos , cos )бірлік векторы үшін
(5)
Нақты
мәнді жай шегі бар болса,онда f
функциясының а нүктесінде ϑ бірлік
бағыты бойынша туындысы
бар деп, шектің өзін ϑ
бағыты бойынша а нүктесіндегі туынды
деп
атап
(a)
символымен белгіленеді.
Теорема:
Егер f ф-сы
ашық
жиынында анықталып,
нүктесінде
дифф-са онда кез-келгенϑ=(cos
,
cos
,
cos
)
бірлік векторы үшін f функциясының ϑ
бағыты бойынша а нүктесінде туындысы
бар болып,
(6)
теңдігі орындалады.
Дәлелдеуі:
болғанда
,
)=f
(7)
Бір
айнымалының күрделі функциясын
қарастырайық. Теореманың шарты бойынша
t=0 мәніне сәйкес
,
)=
нүктесіндеf
ф-сы дифф-ды, ал
болғандықтан,
Ψ функциясы t=0 нүктесінде дифф-нып
(8)
теңдігі орындалады . Сонымен бірге (7) мен бағыт бойынша туынды анықтамасына сәйкес
(9)
(9)мен(8)-ден дәлелдеу керек болатын (6) теңдігі шығады.
Теорема дәлелденді.
жиынының
,
элементі,
яғни дербес туындылардан құрылған
элемент , f
функциасының а нүктесіндегі градиенті
деп, grad f(a) түрінде белгіленеді