4. Дифф-тын функция мен дербес туынды арасындағы байланыс туралы теорема.

Теорема.f сандықфункциясы E ашық жиынында анықталып, а нүктесінің белгілі бір маңайының барлық х (a)⊂E нүктелерінде әрбір i=1,2,…,n үшін (x) дербес туындылары бар болып, олар а нүктесінде үзіліссіз болса, яғни (i=1,2,…,n) теңдіктері орындалса, онда f функциясы a нүктесінде дифф-ды.

Дәлелдеуі. Әуелі екі айнымалы жағдайын қарастырайық. Сонымен, функция дифф-ның анықтамасы бойынша f( айырымын (6) түріндегідей бейнелеу мүмкін екенін көрсету керек. Ол үшін | | < (i=1,2) болады деп ұйғарып, мынадай түрлендіру жасайық:

f( = + . (1)

Егер (t) f(t, ) болса, онда (t) бір айнымалылы функциясы сегментінде анықталып, сол сегменттің әрбір t нүктесінде (t, ) туындысы бар. Демек, Лагранж формуласы бойынша белгілі бір 0 < <1 саны үшін f( болады.

Дәл солай, сондықтан, (1) бойынша . (2)

енді функцияларын

(

( (3)

Деп анықтасақ, онда дербес туындылары нүктесінде үзіліссіз болғандықтан,

болады, өйткені 0< теңсіздіктерінен 0) болатыны шығады. (3) бойынша (2) былай жазылады: + , ал бұл (4) мен қоса f функциясының ( ) нүктесінде дифф-ның дәл өзі болады. Екі айнымалы жағдайында теорема д-ді.

Салдар.Егер f функциясы E⊂ ашық жиынында үзіліссіз дифф-са, онда ол Е жиынының әр нүктесінде дифф-ды.

Дәлелдеуі. а Е болсын, Е ашық жиын болғандықтан, белгілі бір оң саны үшін (a) ⊂Е кірістіруі орындалып, а ның (a) маңайында теореманың барлық шарттары орындалады,демек, f функциясы а нүктесінде дифф-ды. А нүктесінде Еде жатуынан өзге шарт қойылмағандықтан, а нүктесі Е-нің кез келген нүктесі болды, f функциясы Е жиынында дифф-ды. Салдар дәлелденді.

Қорытынды. 1. Егер f(x)=f( Нүктесінде дифференциалданса, онда сол нүктеде барлық мүмкін болады.

2. a нүктесінде барлық мүмкін дербес туындылары бар болса да, f( ) функциясы сол нүктеде диф-бауы мүмкін ; бірақ а-ның белгілі бір маңайында дербес туындылары бар болып,осы ф-дың бәрі де а нүктесінде үзіліссіз болса, онда f функциясы а нүктесінде міндетте түрде диф-ды.

5. Жоғарғы ретті дербес туындылар. - жиыны.

f(x₁,x₂,…,x_n) сандық функциясы EcRⁿ ашық жиынында анықталып x₁,x₂,…,x_n айнымалыларының бірі бойынша (x) дербес туындысы бар болса, онда сол дербес туындының өзі :E ̶>R¹ түріндегі функция болып, белгілі бір x_j айнымалысы бойынша аєЕ нүктесінде (a) x_i және x_j айнымалылары бойынша алынған 2 ретті дербес туындысы деп аталады. Мұнда i және j индекстерінің жазылу реті дербес туынды әуелі x_i бойынша, содан соң x_j бойынша алынғанын көрсетеді.

Әрине, дербес туынды алу амалын жалғастырып қолдана беруге болады: к ретті (x) (1)

Сонымен, жоғарғы ретті дербес туындылар индуктивті әдіспен анықталады. (1) белгілеуінде k индексі дербес туынды неше рет алынғанын көрсетсе, i₁,…,i_k индекстері әуелі , содан соң бірте-бірте … айнымалылары бойнша дербес туынды алынатынын көрсетеді.

Егер (1) дегі i₁,…,i_k индекстерінің арасында кемінде екеуі өзара тең болмаса, онда (1) дербес туындысын аралас туынды деп атайды.

1-теорема. f сандық функциясы EcRⁿ ашық жиынында анықталып, әрбір хєЕ нүктесінде (x)= (x) аралас туындылары бар болсын. Егер осы екі функция аєЕ нүктесінде үзіліссіз болса, онда сол нүктеде олардың мәндері де өзара тең болады.

2-теорема.Егер fєC^(m)(E) болса, онда әрбір хєЕ үшін дербес туындысының мәні i₁,…,i_m индекстері беретін дифференциалдау кезегіне тәуелсіз, яғни i₁,…,i_m дифференциалдау кезегін қалай өзгертсек те, дербес туындының мәні өзгермейді. Басқаша айтқанда 1,...,m сандары өзара орын алмастырып, ϭ(1),...,ϭ(m) ретінде жазылған болсы.Бұны ϭ-алмастыру деп атайды. Мысалы: m=3 үшін 1,2,3 сандарының 3,1,2 ретінде жазылуын ϭ-алмастыруы деп атаймыз.Сонымен, теореманың мағынасы мынада: 1,...,m жиынының әрбір ϭ-алмастыруы үшін

= (х) (2)

Дәлелдеу.Математикалық индукция әдісін m бойынша жүргіземіз. m=2 болғанда бұл (1) теореманың дәл өзі: (x)= (x) (3)

ал енді теорема m үшін дәлелденді делік. fєC^(m+1)(E) болып, i₁,i₂,…,i_m,i_m+1 интекстерімен 1,2,...,m,m+1 жиынының ϭ-алмастыруы берілсін. Индукция әдісінің талабына сай теореманы дәлелдеу үшін

А≡ = (x) (4)

Теңдігін дәлелдесе жеткілікті.

Егер r = (m+1) > 1 болса, онда φ = функциясы үзіліссіз болып, m+2-r ≤ m болғандықтан, (2) бойынша ∂ мен ∂ = ∂ –дің орындарын алмастыру заңды:

А= =

Енді бұл жағдайда 1,…,r-1,r+1,…,m+1 және (1),…, (m)

Сандары алмастыруы бойынша өзара бірмәнді сәкестікте екенін ескере отырып, квадрат жақшаның ішіндегі өрнекке (2) теңдігін қолданып,(4) теңдігіне келеміз.

Егер 1= (m+1) болса,онда 2,...,m+1 және ,..., (m) сандары алмастыруы бойынша өзара бірмәнді сәйкестікте болады, демек, (2) теңдігін φ ≡ = үзіліссіз функциясына қолданып,

А= = теңдігіне келеміз 2 және 3 теңдіктері бойынша

А= = = ,

Яғни (4) бұл жағдайда да орындалады.Теорема толық дәлелденді.