2. Көп айнымалылы сандық функция шегі.Қасиеттері.

Оң бүтін n саны беріліп, әр i (i=1,…,n) үшін арқылы , символдарының бірін белгілейік. Алғашқы үш жағдайда, яғни + 0 не болғанда ақырлы, ал қалған үш жағдайда, яғни , , болғанда ақырсыз делік.

жиыны беріліп, сол жиын үшін

q арқылы символдарының бірін белгілейік.

Егер де әр оң саны үшін кірістірулері мен –лердің бәрі ақырлы болғанда

(2)

қосымша шарты орындалғанда (q) кірістірулері орындалатындай оң сандары табылса, онда х , болғанда -нің шегі бар және ол q-ға тең болады дейді де, бұл жайды

не q(х (3) деп белгілейді.

Сонымен 1) бәрі де ақырлы болғанда (3)

2) ) -лердің кемінде бірі ақырсыз болғанда

(3) 

(3)-те - нің әрқайсысы бір-бірімен тәуелсіз 6 мән қабылдағандықтан, (3)-тің әр түрлі жағдайлары бар.

шегі мен осында берілген

шегі анықтамалары эквивалентті екендігін көрсетейік.

Расында да, егерде әр : болып және (2) орындалса, онда үшін

болады. Керісінше егер де

болса, онда

ал болғандықтан

Бұдан аталған шектердің анықтамалары бір-бірінің салдары екендігі айқын түрде шығады.

Жалпы жағдайда

шегін анықтама бойынша

деп түсінеміз.

3. Дербес туынды. Мысалдар.

Егер функциясыа нүктесінде дифференциалданса онда

(1)aнықтамасындағы сызықтыфункциясы f функциясының а нүктесіндегі дифференциалы деп аталады.

Әуелі n=2 болған жағдайда -ди f арқылы белгілейік. Ол үшін

теңдігінде =0 деп алсақ, онда болады. Бұл теңдіктің екі жағын да -ге бөліп,

теңдігін келеміз, ал болғандықтан, болғанда (3)-дің оң жағындағы өрнектің шегі бар және ол тең, демек, (3) сол жағындағы өрнектің де шегі бар және ол да -ге тең:

(4)

нүктесі үшін f функциясының бірінші аргументін тәуелсіз айнымалы ретінде алып, екінші аргументін –ге тең етіп алып, нүктесінде туындысын есептесек, онда дәл -ге келеміз, өйткені

үшін де

теңдігі орындалатын дәл осылай дәлелденеді. Осыған сүйеніп, келесі маңызды анықтаманы енгізейік.

f(x) cандық функциясы ашық жиынында анықталып, болсын. Егер

шегі бар және ол нақты сан болса, онда фукнциясының а нүктесіндегі і-ші айнымалы бойынша дербес туындысы бар дейді де (5) шегінің мәнін f фукнциясының і-ші айнымалы бойынша дербес туынды деп атап, (3) өренгін былайда түсінуге болады: бір айнымалылы функциясын қарастырып, осы функциясын нүктесінде арқылы туындысы бар болса, онда сол туынды f(x) функциясының а нүктесінде і-ші айнымалы бойынша алған дербес туындының дәл өзі болады.

1-теорема. функциясы ашық ж-да анықталып, болсын. Егер f ф–сы а нүктесінде дифф-са, онда (a),… , дербес туындылары бар болып, болады. Әрбір n үшін барлық айнымалылары бойынша дербес туындылары бар болатын нүктеде n айнымалылы функция дифф-бауы мүмкін.

2-теорема. Егер f ф-сы а нүктесінде дифф-са, онда ол сол нүктеде үзіліссіз де болады. Үзіліссіз ф-ия дифф-бауы мүмкін.

Мысалы,