19. Екінші түрдегі қисықсызықты интеграл. Грин формуласы.

Екінші түрдегі қисықсызықты интеграл. Ω облысы беріліп, Р (x,y) және Q(x,y) ф-ры Ω облысында ан-ған және үзіліссіз болсын.

γ (t) = (x(t), y(t)) (a ≤ t ≤ b) қисығы үзіліссіз дифф-нып, әр t [ a, b ] үшін γ (t) C Ω кірістіруі орындалсын.

w (x,y)=P(x,y)dx+ Q(x,y)dy дифф-дық формасының γ қисығы бойынша екінші түрдегі қисықсызықты интегралы деп (1)

саны аталады да, ол не қысқаша (2*)түрлерінде белгіленеді.

Грин формуласы.1) Мәселенің қойылуы.Шекарасы тұйық жай қисығы болатын Жордан бойынша өлшенетін Ω облысы берілгенболсын.

Интеграл туралы сөз қозғасақ,онда γ = Ω қисығында қисықсызықты,ал Ω жиынында екі еселіинтеграл анықталған еді.Бұл интегралдар мынадай

(1)

байланыста. (1) теңдігі Грин формуласы деп аталады.

Сонымен (1) теңдігіндегі таңбаны бағытты көрсету арқылы былай

(2)

анықтап,сол жайт расында да орындалады.

1-теорема (Грин формуласы). [a,b]x[A,B] тіктөртбұрышында P(x,y) және Q(x,y) функциялары анықталып, дербес туындыларымен бірге сол жиында үзіліссіз болсын.

[a,b] сегментінде анықталған және үзіліссіз дифф-тын А сегментінде анықталған және үзіліссіз дифф-тын а функциялары үшін

=

= (3)

жиындар теңдігі орындалсын.Онда (3) теңдігі бойынша анықталған тұйық облысы мен бағытталған қисығы үшін

теңдігі орындалады.

20. Беттік интегралдар.

Жазықтықта Жордан бойынша өлшенетін тұйық жиыны беріліп, ашық облысында анықталған және үзіліссіз дифференциалданатын

Е: r(u,v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v)) фунциясы беріліп, сәйкестігі өзара бірмәнді болсын.

S = r( бетінде F(x,y,z) сандық функциясы анықталып, S жиынында S бойынша үзіліссіз болсын.

Егерде қайсыбір I нақты саны мен кез келген саны үшін жиынының Жордан бойынша өлшенетін тұйық облыстары бойынша анықталған

(1)

Болатындай кез келген жіктелуі мен кез келген ( ) нүктелеріүшін:

болатындай оң саны табылса, яғни :

(2) болса, онда I саныF(x,y,z) функциясының S( ) беті бойынша алынған интегралы деп аталып,

dS (3)

Символымен белгіленеді S беті XOY жазықтығында жатқан x(u,v) = u, y(u,v) = v, z(u,v) болғандықтан S = жиынында айналғанда, (3) интегралының анықтамасы

(4)

Екі еселі Риман интегралының анықтамасына айналады. Расында да

F(x(u,v), y(u,v), z(u,v)) = F(u,v,0)

Болып, (3) теңдігі

Теңдігіне айналады.

Мысалы: z = f(x,y)((x,y) )айқын түрде берілген S беті үшін:

Үзіліссіз дифференциалданатын және әр(u,v) үшін * болатындай r(u,v) екі жақты беті беріліп, түріндегі өзара бірмәндік сәйкесте болатын кеңістіктегі r( жиынында үзіліссіз F(x,y,z) сандық функциясы берілсін. S=r( бетінде және ориентацияларына сай

)dS (1)

)dS (2)

екі интегралын анықталық.

Бұл анықтамалар бірінші түрдегі беттік интегралдың анықтамасында dS орнына оның XOY жазықтығына проекциясы болатын dxdy алынып және сол алмастыру ) теңдігі бойынша жүргізілді деп елестетуге болады.(суреттен). Екінші түрдегі интеграл мәні S бетінің ориентациясына тәуелді:(n ⃗ k ⃗) + (- n ⃗ k ⃗) = , демек,

cos(n ⃗ k ⃗)=cos( n ⃗ k ⃗))=cos *cos(- n ⃗ k ⃗)= болып, (1),(2) бойынша

)dS

Сөйтіп, екінші түрдегі беттік интегралда беттің бір жағынан екінші жағына өткенде оның таңбасын қарама қарсы таңбаға ауыстыру керек. Дәл айтқанда өткенде, интеграл мәнін -1 санына көбейту керек.