23. Принцип Паули и квантовые основания

Периодического закона.

В1925 г. швейцарский физик В.Паули (в 1945 г. ему была присуждена Нобелевская премия по физике) установил правило, названное впоследствии принципом Паули (или запретом Паули): В атоме не может быть двух электронов, обладающих одинаковыми свойствами.

Поскольку свойства электронов характеризуются квантовыми числами, принцип Паули часто формулируется так:

В атоме не может быть двух электронов, у которых все четыре квантовых числа были бы одинаковы.

Хотя бы одно из квантовых чисел n, l, ml и ms, должно обязательно различаться проекцией спина. Поэтому в атоме могут быть лишь два электрона с одинаковыми n, l и ml: один с ms = +1/2 другой c ms = -1/2 . Напротив, если проекции спина двух электронов одинаковы, должно отличаться одно из квантовых чисел n, l или ml.

Зная принцип Паули, посмотрим, сколько же электронов в атоме может находиться на определенной «орбите» с главным квантовым числом n. Первой «орбите» соответствует n = 1. Тогда l = 0, ml=0 и ms может иметь произвольные значения: +1/2 или -1/2 . Мы видим, что если n = 1, таких электронов может быть только два.

В общем случае, при любом заданном значении n электроны прежде всего отличаются побочным квантовым числом l, принимающим значения от 0 до n 1. При заданных n и l может быть (2l + 1) электронов с разными значениями магнитного квантового числа ml. Это число должно быть удвоено, так как заданным значениям n, l и ml соответствуют два разных значения проекции спина ms.

Следовательно, максимальное число электронов с одинаковым квантовым числом n выражается суммой

Отсюда ясно, почему на первом энергетическом уровне может быть не больше 2 электронов, на втором — 8, на третьем — 18 и т.д.

Рассмотрим, например, атом гелия. В атоме гелия ₂He квантовые числа n = 1, l = 0 и m_l = 0 одинаковы для обоих его электронов, а квантовое число m_s отличается. Проекции спина электронов гелия могут быть m_s = +1/2  или m_s = -1/2 . Строение электронной оболочки атома гелия ₂Не можно представить как 1s² или, что то же самое

Заметим, что в одной квантовой ячейке согласно принципу Паули никогда не может быть двух электронов с параллельными спинами.

Третий электрон лития согласно принципу Паули уже не может находиться в состоянии 1s, а только в состоянии 2s:

24. Зонный характер энергетического спектра электронов в кристаллах. Классификация

полупроводников. Уровень Ферми и его температурная зависимость.

1) Зонный характер энергетического спектра электронов в кристаллах.

Валентные электроны движутся в металле не совсем свободно - на них действует периодическое поле решетки. Это обстоятельство приводит к тому, что спектр возможных значений энергии электронов распадается на ряд чередующихся разрешенных и запрещенных зон. В пределах разрешенных зон энергия изменяется квазинепрерывно. Значения энергии, принадлежащие запрещенным зонам, не могут реализоваться. Возьмем два атома, удаленных друг от друга на большом расстоянии друг от друга так, что они не взаимодействуют. Рассмотрим, к чему качественно приводит взаимодействие этих атомов при их сближении. Для простоты заменим реальный атом одномерным гармоническим осциллятором массой m и собственной частотой колебаний  . При отклонении от положения равновесия на   и  , осцилляторы получают потенциальные энергии   и  . Пока осцилляторы раздвинуты достаточно далеко, гамильтониан системы осцилляторов можно представить в виде:  , где  , и  . Осцилляторы ведут себя независимо друг от друга. Энергия каждого из них квантуется и равна  . Энергия системы равна сумме энергий обоих осцилляторов. Ввиду тождественности осцилляторов одна и та же энергия Е может быть  представлена двумя способами: либо как  (здесь осциллятор I имеет энергию  , а осциллятор II имеет энергию  ), либо   (здесь осциллятор I имеет энергию  , а осциллятор II имеет энергию  ). Это означает, что энергетический уровень Е системы осцилляторов двукратно вырожден.  При сближении осцилляторов начинают взаимодействовать дипольные моменты   и  . Потенциальная энергия взаимодействия этих диполей равна  , где R – расстояние между осцилляторами. В этом случае гамильтониан системы осцилляторов  Введем так называемые нормальные координаты   и  :  ,  . Тогда  . . Потенциальная энергия:  Таким образом, гамильтониан системы  . Вид гамильтониана показывает, что в нормальных координатах   и   система совершает два независимых колебания с частотами   и  . Введение нормальных координат формально соответствует переходу к описанию движения системы осцилляторов посредством двух квазичастиц, гармонически колеблющихся с частотами   и  . Движение каждой квазичастицы описывает не движение отдельного осциллятора, а обоих осцилляторов вместе. Общее движение всей системы складывается из наложения движений обеих квазичастиц. Энергия первой квазичастицы  , энергия второй  , причем оба эти уровня не вырождены. Таким образом, в результате взаимодействия происходит расщепление двукратно вырожденного энергетического уровня на два с частотами   и  .