5.Вынужденные колебания. Резонанс

5.1 Когда на точку кроме восстанавливающей силы F ,действует еще периодически изменяющаяся со временем сила Q (проекция которой на ось равна = sin pt) то эта сила называется возмущающей силой, а колебания, происходящие при действии такой силы, называются вынужденными .

5.2 В случае, когда частота вынуждающей силы совпадает с собственной частотой колебательной системы , происходит рез­кое возрастание амплитуды вынужденных колебаний — резонанс.

6. Упругие волны. Механизм образования волн. Плоская монохроматическая волна. Уравнение волны. Характеристики: частота, длина волны , волновой вектор.

6.1 Упругие волны — волны, распространяющиеся в жидких, твёрдых и газообразных средах за счёт действия упругих сил.

В зависимости от частоты различают инфразвуковые, звуковые и ультразвуковые упругие волны.

В жидких и газообразных средах может распространяться только один тип упругих волн — продольные волны. В волне этого типа движение частиц осуществляется в направлении распространения волны.

Упругие волны, распространяющиеся в земной коре, называют сейсмическими волнами.

Упругие волны в твёрдых телах:

продольные волны — волны с колебанием частиц вдоль направления распространения волны;

поперечные волны — волны с колебанием частиц перпендикулярно направлению распространения волны;

поверхностные волны — волны с колебанием частиц по эллипсам вдоль поверхности тела;

волны Лэмба — волны в тонких пластинах;

изгибные волны — распространение колебаний деформации изгиба в стержнях или пластинах, длина волны которых много больше толщины стержня или пластины.

6.2 При колебании тела в упругой среде частицы среды, которые непосредственно соприкасаются с поверхности тела тоже приходят в вынужденные колебания. За счет сил связи в колебательное движение вовлекаются более отдаленные слои среды. Возникают деформации и силы упругости, которые приводят в колебания все более отдаленные слои среды. Таким образом каждая частица среды совершает вынужденные колебания вокруг своего положения равновесия. В среде же с определенной скоростью распространяется состояние деформации, а перенос вещества среды нет. Такой процесс распространения колебаний в среде называется волновым процессом, или просто волной.

6.3 Монохроматическая волна — строго гармоническая (синусоидальная) волна с постоянными во времени частотой, амплитудой и начальной фазой.

Бегущая монохроматическая волна-вектор, направление которого совпадает с направлением распространения энергии в электромагнитной волне, а модуль |S| равен потоку энергии.

Стоячая монохроматическая волна — волна, формирующаяся при распространении двух плоских монохроматических электромагнитных волн одинаковой поляризации навстречу друг другу.

6.4 В многомерном случае однородное волновое уравнение записывается в виде

,

где  — оператор Лапласа,  — неизвестная функция(t — время,x — пространственная переменная )  — фазовая скорость.

Допустимо также рассматривать неоднородное волновое уравнение

где  — некая заданная функция внешнего воздействия (внешней силы).

6.5 Длина волны - есть расстояние между частицами, колеблющимися с одинаковой фазой. Длина волны не зависит от координат и времени.

 

Частота колебаний - число колебаний в единицу времени

ν=1/Т

ВОЛНОВОЙ ВЕКТОР - вектор k, определяющий направление распространения и пространственный период плоской монохроматической волны.

Волновое число связано с длиной волны λ соотношением:

.

Наиболее общим определением волнового вектора можно считать такое: волновой вектор есть градиент фазы волны:

7.

1)Фа́зовая ско́рость — скорость перемещения точки, обладающей постоянной фазой колебательного движения в пространстве, вдоль заданного направления. Обычно рассматривают направление, совпадающее с направлением волнового вектора, и фазовой называют скорость, измеренную именно в этом направлении, если противное не указано явно (то есть если явно не указано направление, отличное от направления волнового вектора). Фазовая скорость по направлению волнового вектора совпадает со скоростью движения фазового фронта (поверхности постоянной фазы). Ее можно рассматривать при желании как векторную величину.

2) Волновое уравнение в математике — линейное гиперболическое дифференциальное уравнение в частных производных, задающее малые поперечные колебания тонкой мембраны или струны, а также другие колебательные процессы в сплошных средах (акустика, преимущественно линейная: звук в газах, жидкостях и твёрдых телах) и электромагнетизме (электродинамике). Находит применение и в других областях теоретической физики, например при описании гравитационных волн. Является одним из основных уравнений математической физики.В многомерном случае однородное волновое уравнение записывается в виде

.

3) Поглощение света. Закон Бугера

Поглощение света в веществе связано с преобразованием энергии электромагнитного поля волны в тепловую энергию вещества (или в энергию вторичного фотолюминесцентного излучения). Закон поглощения света (закон Бугера) имеет вид:

I=I₀ exp(-x), (1)

где I₀, I -интенсивности света на входе (х=0) и выходе из слоя среды толщины х, -коэффициент поглощения, он зависит от .

Для диэлектриков =10^-1 10^-5 м^-1 , для металлов =10⁵ 10⁷ м^-1, поэтому металлы непрозрачны для света.

Зависимостью ( ) объясняется окрашенность поглощающих тел. Например, стекло, слабо поглощающее красный свет, при освещении белым светом будет казаться красным.

8.

1) Электромагни́тные волны (электромагнитное излучение) — распространяющееся в пространстве возмущение (изменение состояния) электромагнитного поля.

Среди электромагнитных полей вообще, порождённых электрическими зарядами и их движением, принято относить собственно к излучению ту часть переменных электромагнитных полей, которая способна распространяться наиболее далеко от своих источников — движущихся зарядов, затухая наиболее медленно с расстоянием.

Электромагнитные волны подразделяются на:

• радиоволны (начиная со сверхдлинных),

• терагерцовое излучение,

• инфракрасное излучение,

• видимый свет,

• ультрафиолетовое излучение,

• рентгеновское излучение и жёсткое (гамма-излучение)

2)Свойства электромагнитных волн :

•  Электромагнитные волны излучаются колеблющимися зарядами. Наличие ускорения - главное условие излучения электромагнитных волн. 

• Такие волны могут распространяться не только в газах, жидкостях и твердых средах, но и в вакууме.

•  Электромагнитная волна является поперечной.

•  Скорость электромагнитных волн в вакууме с=300000 км/с

•  При переходе из одной среды в другую частота волны не изменяется.

• Электромагнитные волны могут поглощаться веществом. 

• Попадая на границу раздела двух сред, часть волны отражается, а часть проходит в другую среду,преломляясь.

13. Гологра́фия    — набор технологий для точной записи, воспроизведения и переформирования  волновых полей  оптическогоэлектромагнитного излучения, особый фотографический метод, при котором с помощью лазера регистрируются, а затем восстанавливаются изображения трехмерных объектов, в высшей степени похожие на реальные.

Данный метод был предложен в  1947 году  Дэннисом Габором, он же ввёл термин  голограмми получил «за изобретение и развитие голографического принципа»13. Гологра́фия    — набор технологий для точной записи, воспроизведения и переформирования  волновых полей  оптическогоэлектромагнитного излучения, особый фотографический метод, при котором с помощью лазера регистрируются, а затем восстанавливаются изображения трехмерных объектов, в высшей степени похожие на реальные.

Данный метод был предложен в  1947 году  Дэннисом Габором, он же ввёл термин  и получил «за изобретение и развитие голографического принципа»Нобелевскую премию по физике  в  1971 году.

Рассеянные объектом волны характеризуются амплитудой и фазой. Регистрация амплитуды волн не представляет затруднений; обычная фотографическая пленка регистрирует амплитуду, преобразуя ее значения в соответствующее почернение фотографической эмульсии. Фазовые соотношения становятся доступными для регистрации с помощью интерференции, преобразующей фазовые соотношения в соответствующие амплитудные.Интерференция  возникает, когда в некоторой области пространства складываются несколько электромагнитных волн,  частоты  которых с очень высокой степенью точности совпадают. Когда записывают голограмму, в определённой области пространства складывают две волны: одна из них идёт непосредственно от источника (опорная волна), а другая отражается от объекта записи (объектная волна). В этой же области размещают  фотопластинку  (или иной регистрирующий материал), в результате на этой пластинке возникает сложная картина полос потемнения, которые соответствуют распределению электромагнитной энергии (картинеинтерференции) в этой области пространства. Если теперь эту пластинку осветить волной, близкой к опорной, то она преобразует эту волну в волну, близкую к объектной. Таким образом, мы будем видеть (с той или иной степенью точности) такой же свет, какой отражался бы от объекта записи.

14.Теплово́е излуче́ние — электромагнитное излучение, возникающее за счёт внутренней энергии тела. Имеет сплошной спектр, максимум которого зависит от температуры тела. При остывании последний смещается в длинноволновую часть спектра.

Энергетическая светимость тела — физическая величина, являющаяся функцией температуры и численно равная энергии, испускаемой телом в единицу времени с единицы площади поверхности по всем направлениям и по всему спектру частот.

Спектральная плотность энергетической светимости — функция частоты и температуры, характеризующая распределение энергии излучения по всему спектру частот (или длин волн).

Поглощающая способность тела — функция частоты и температуры, показывающая, какая часть энергии электромагнитного излучения, падающего на тело, поглощается телом в области частот

Отражающая способность тела - функция частоты и температуры, показывающая какая часть энергии электромагнитного излучения, падающего на тело, отражается от него в области частот

Абсолютно черное тело — это физическая абстракция (модель), под которой понимают тело, полностью поглощающее всё падающее на него электромагнитное излучение

Серое тело — это такое тело, коэффициент поглощения которого не зависит от частоты, а зависит только от температуры

Объемная плотность энергии излучения— функция температуры, численно равная энергии электромагнитного излучения в единицу объёма по всему спектру частот

Любое нагретое тело излучает электромагнитные волны. Чем выше температура тела, тем более короткие волны оно испускает. Тело, находящееся в термодинамическом равновесии со своим излучением, называют абсолютно черным (АЧТ). Излучение абсолютно черного тела зависит только от его температуры. В 1900 году Макс Планк вывел формулу, по которой при заданной температуре абсолютно черного тела можно рассчитать величину интенсивности его излучения.

Этот закон носит название закон Стефана–Больцмана. Константа σ = 5,67∙10–8 Вт/(м2∙К4) получила название постоянной Стефана–Больцмана.

ε = σT4.

Все планковские кривые имеют заметно выраженный максимум, приходящийся на длину волны

Этот закон получил название закон Вина. Так, для Солнца Т0 = 5 800 К, и максимум приходится на длину волны λmax ≈ 500 нм, что соответствует зеленому цвету в оптическом диапазоне.

С увеличением температуры максимум излучения абсолютно черного тела сдвигается в коротковолновую часть спектра. Более горячая звезда излучает большую часть энергии в ультрафиолетовом диапазоне, менее горячая – в инфракрасном.

Гипо́теза Пла́нка — гипотеза, выдвинутая 14 декабря 1900 года Максом Планком и заключающаяся в том, что при тепловом излучении энергия испускается и поглощается не непрерывно, а отдельными квантами (порциями). Каждая такая порция-квант имеет энергию ,пропорциональную частоте ν излучения: E=hv

где h'=h/2п — коэффициент пропорциональности, названный впоследствии постоянной Планка. На основе этой гипотезы он предложил теоретический вывод соотношения между температурой тела и испускаемым этим телом излучением — формулу Планка.

Позднее гипотеза Планка была подтверждена экспериментально.

Выдвижение этой гипотезы считается моментом рождения квантовой механики.

15. Энергия фотона:Энергия фотона E=hv

Согласно теории относительности энергия всегда может быть вычислена как E=mc^2 Отсюда - масса фотона. m=hv/c^2

Импульс фотона p=mc=hv/c=h/л. Импульс фотона направлен по световому пучку.

Фотоэффе́кт, Фотоэлектрический эффект — испускание электронов веществом под действием света (или любого другого электромагнитного излучения). В конденсированных (твёрдых и жидких) веществах выделяют внешний и внутренний фотоэффект.

Законы Столетова для фотоэффекта:

Формулировка 1-го закона фотоэффекта: Сила фототока прямо пропорциональна плотности светового потока.

Согласно 2-му закону фотоэффекта, максимальная кинетическая энергия вырываемых светом электронов линейно возрастает с частотой света и не зависит от его интенсивности.

3-й закон фотоэффекта: для каждого вещества существует красная граница фотоэффекта, то есть минимальная частота света v0 (или максимальная длина волны λ0), при которой ещё возможен фотоэффект, и если v<v0 то фотоэффект уже не происходит.

Теоретическое объяснение этих законов было дано в 1905 году Эйнштейном. Согласно ему, электромагнитное излучение представляет собой поток отдельных квантов (фотонов) с энергией hν каждый, где h — постоянная Планка. При фотоэффекте часть падающего электромагнитного излучения от поверхности металла отражается, а часть проникает внутрь поверхностного слоя металла и там поглощается. Поглотив фотон, электрон получает от него энергию и, совершая работу выхода φ, покидает металл:

16.Корпускуля́рно-волново́й дуали́зм (или Ква́нтово-волново́й дуали́зм) — принцип, согласно которому любой физический объект может быть описан как с использованием математического аппарата, основанного на волновых уравнениях, так и с помощью формализма, основанного на представлении об объекте как о частице или как о системе частиц. В частности, волновое уравнение Шрёдингера не накладывает ограничений на массу описываемых им частиц, и следовательно, любой частице, как микро-, так и макро-, может быть поставлена в соответствие волна де Бройля. В этом смысле любой объект может проявлять как волновые, так и корпускулярные (квантовые) свойства[1].

Такие явления, как интерференция и дифракция света, убедительно свидетельствуют о волновой природе света. В то же время закономерности равновесного теплового излучения, фотоэффекта и эффекта Комптона можно успешно истолковать с классической точки зрения только на основе представлений о свете, как о потоке дискретных фотонов. Однако волновой и корпускулярный способы описания света не противоречат, а взаимно дополняют друг друга, так как свет одновременно обладает и волновыми, и корпускулярными свойствами.

Волновые свойства света играют определяющую роль в закономерностях его интерференции, дифракции, поляризации, а корпускулярные — в процессах взаимодействия света с веществом. Чем больше длина волны света, тем меньше импульс и энергия фотона и тем труднее обнаружить корпускулярные свойства света. Например, внешний фотоэффект происходит только при энергиях фотонов, больших или равных работе выхода электрона из вещества. Чем меньше длина волны электромагнитного излучения, тем больше энергия и импульс фотонов и тем труднее обнаружить волновые свойства этого излучения. Например, рентгеновское излучение дифрагирует только на очень «тонкой» дифракционной решетке — кристаллической решетке твердого тела.

Эффе́кт Ко́мптона (Ко́мптон-эффе́кт, ко́мптоновское рассе́яние) — некогерентное рассеяние фотонов на свободных электронах. Эффект сопровождается изменением частоты фотонов, часть энергии которых после рассеяния передается электронам. Обнаружен американским физиком Артуром Комптоном в 1923 году в экспериментах с рентгеновским излучением.

Рентге́новское излуче́ние — электромагнитные волны, энергия фотонов которых лежит на шкале электромагнитных волн между ультрафиолетовым излучением и гамма-излучением, что соответствует длинам волн от 10−2 до 102 Å (от 10−12 до 10−8 м).

Энергетические диапазоны рентгеновского излучения и гамма-излучения перекрываются в широкой области энергий. Оба типа излучения являются электромагнитным излучением и при одинаковой энергии фотонов — эквивалентны. Терминологическое различие лежит в способе возникновения — рентгеновские лучи испускаются при участии электронов (либо связанных в атомах, либо свободных) в то время как гамма-излучение испускается в процессах девозбуждения атомных ядер. Фотоны рентгеновского излучения имеют энергию от 100 эВ до 250 кэВ, что соответствует излучению с частотой от 3·1016 до 6·1019 Гц и длиной волны 0,005—10 нм (общепризнанного определения нижней границы диапазона рентгеновских лучей в шкале длин волн не существует). Мягкое рентгеновское излучение характеризуется наименьшей энергией фотона и частотой излучения (и наибольшей длиной волны), а жёсткое рентгеновское излучение обладает наибольшей энергией фотона и частотой излучения (и наименьшей длиной волны). Жёсткое рентгеновское излучение используется преимущественно в промышленных целях.

ВОПРОС №17.

В 1924 г французский физик Луи де Бройль выдвинул смелую гипотезу, согласно которой корпускулярно-волновой дуализм имеет универсальный характер. Согласно гипотезе де Бройля каждая материальная частица обладает волновыми свойствами, причем соотношения, связывающие волновые и корпускулярные характеристики частицы остаются такими же, как и в случае электромагнитного излучения. Напомним, что энергия   и импульс   фотона связаны с круговой частотой   и длиной волны   соотношениями

     

     По гипотезе де Бройля движущейся частице, обладающей энергией   и импульсом  , соответствует волновой процесс, частота которого равна

     

(2.1)

     а длина волны

     

(2.2)

     Как известно, плоская волна с частотой   , распространяющаяся вдоль оси  , может быть представлена в комплексной форме

     

     где   - амплитуда волны, а   - волновое число.

     Согласно гипотезе де Бройля свободной частице с энергией   и импульсом  , движущейся вдоль оси  , соответствует плоская волна

     

(2.3)

     распространяющаяся в том же направлении и описывающая волновые свойства частицы. Эту волну называют волной де Бройля. Соотношения, связывающие волновые и корпускулярные свойства частицы

     

(2.4)

     где   импульс частицы, а   - волновой вектор, получили название уравнений де Бройля.

     Свойства волн де Бройля. Рассмотрим свойства, которыми обладают волны де Бройля. Прежде всего следует отметить, что волны материи - волны де Бройля - в процессе распространения могут отражаться, преломляться, интерферировать и дифрагировать по обычным волновым законам. Найдем фазовую скорость волн де Бройля  , т.е. скорость, с которой распространяются точки волны с постоянной фазой. Пусть частица движется вдоль оси  , тогда условие постоянства фазы волны (2.3) имеет вид

     

     Дифференцируя это соотношение, находим

     

     Поскольку

     

     где   - релятивистская масса частицы, а   - ее скорость, то для фазовой скорости волны де Бройля получаем следующее выражение

     

(2.5)

     Так как  , то фазовая скорость волны де Бройля   оказывается больше скорости света в вакууме  . Это не противоречит теории относительности, которая запрещает движение со скоростью, большей скорости света. Ограничения, накладываемые теорией относительности, справедливы лишь для процессов, связанных с переносом массы или энергии. Фазовая скорость волны не характеризует ни один из этих процессов, поэтому на ее величину не накладывается никаких ограничений.

Если имеется несколько (много) идентичных копий системы в данном состоянии, то измеренные значения координаты и импульса будут подчиняться определённому распределению вероятности — это фундаментальный постулат квантовой механики. Измеряя величину среднеквадратического отклонения   координаты и среднеквадратического отклонения   импульса, мы найдем что:

,

где ħ — приведённая постоянная Планка.

Отметим, что это неравенство даёт несколько возможностей — состояние может быть таким, что   может быть измерен с высокой точностью, но тогда   будет известен только приблизительно, или наоборот   может быть определён точно, в то время как   — нет. Во всех же других состояниях и  , и   могут быть измерены с «разумной» (но не произвольно высокой) точностью.

При́нцип причи́нности — один из самых общих физических принципов^[1], устанавливающий допустимые пределы влияния событий друг на друга^[1].

В классической физике это утверждение означает, что любое событие   произошедшее в момент времени   может повлиять на событие   произошедшее в момент времени   только при условии:   Таким образом классическая физика допускает произвольно большую скорость переноса взаимодействий.

При учёте релятивистских эффектов принцип причинности (ПП) должен быть модифицирован, поскольку время становится относительным — взаимное расположение событий во времени может зависеть от выбранной системы отсчёта. В специальной теории относительности ПП утверждает, что любое событие  произошедшее в точке пространства-времени   может повлиять на событие   произошедшее в точке пространства-времени   только при условии:   и   где с — предельная скорость распространения взаимодействий, равная, согласно современным представлениям, скорости света в вакууме. Иными словами, интервал между событиями A и B должен быть времени подобен (событие A предшествует событию B в любой системе отсчёта). Таким образом, событие B причинно связано с событием A (являясь его следствием), только если оно находится в области абсолютно будущих событий светового конуса с вершиной в событии A — такое определение принципа причинности переходит без изменений и в общую теорию относительности. Если два события A и В разделены пространственно подобным интервалом (то есть ни одно из них не находится внутри светового конуса с вершиной в другом событии), то их последовательность может быть изменена на противоположную простым выбором системы отсчёта (СО): если в одной СО   то в другой СО может оказаться, что   Это не противоречит принципу причинности, потому что ни одно из этих событий не может влиять на другое.

ВОПРОС№18

Наиболее общая форма уравнения Шрёдингера — это форма, включающая зависимость от времени^[11] :

Зависимое от времени уравнение (общий случай)

где   — гамильтониан.

Пример нерелятивистского уравнения Шрёдингера в координатном представлении для точечной частицы массы  , движущейся в потенциальном поле c потенциалом   :

Зависящее от времени уравнение Шрёдингера

Оператор   называется оператором Гамильтона.

Стационарное уравнение Шрёдингера

Форма уравнения Шрёдингера показывает, что относительно времени его решение должно быть простым, поскольку время входит в это уравнение лишь через первую производную в правой части. Действительно, частное решение для специального случая, когда   не является функцией времени, можно записать в виде:

где функция   должна удовлетворять уравнению:

которое получается из уравнения Шрёдингера (1) при подстановке в него указанной выше формулы для   (2). Заметим, что это уравнение вообще не содержит времени; в связи с этим оно называется стационарным уравнением Шрёдингера (уравнение Шрёдингера, не содержащее времени).

Выражение (2) является лишь частным решением зависящего от времени уравнения Шрёдингера (1), общее решение представляет собой линейную комбинацию всех частных решений вида (2). Зависимость функции   от времени проста, но зависимость её от координаты не всегда имеет элементарный вид, так как уравнение(3) при одном выборе вида потенциальной функции   совершенно отличается от того же уравнения при другом выборе этой функции. В действительности, уравнение (3) может быть решено аналитически лишь для небольшого числа частных типов функции  .

Волнова́я фу́нкция, или пси-функция   — комплекснозначная функция, используемая в квантовой механике для описания чистого состояния системы. Является коэффициентом разложения вектора состояния по базису (обычно координатному):

где   — координатный базисный вектор, а   — волновая функция в координатном представлении.

Физический смысл волновой функции заключается в том, что согласно копенгагенской интерпретации квантовой механики плотность вероятности нахождения частицы в данной точке конфигурационного пространства в данный момент времени считается равной квадрату абсолютного значения волновой функции этого состояния в координатном представлении.

В координатном представлении волновая функция   зависит от координат (или обобщённых координат) системы. Физический смысл приписывается квадрату её модуля  , который интерпретируется как плотность вероятности   (для дискретных спектров — просто вероятность) обнаружить систему в положении, описываемом координатами   в момент времени  :

.

Тогда в заданном квантовом состоянии системы, описываемом волновой функцией  , можно рассчитать вероятность   того, что частица будет обнаружена в любой области конфигурационного пространства конечного объема  :        .

Следует также отметить, что возможно измерение и разницы фаз волновой функции, например, в опыте Ааронова — Бома.

ВОПРОС №19

Одномерная потенциальная яма с бесконечно высокими стенками Пусть частица совершает одномерное движение вдоль оси x в потенциальной яме, изображенной на рис. 3.1

. Математически одномерный потенциал записывается в виде:          0 0 0 x a,x x a U (3.3.1) Стационарное уравнение Шредингера имеет вид:  E U     m Hˆ 2 2  (3.3.2) Запишем это уравнение для области внутри ямы, где потенциальная энергия равна нулю: x E x dx d m 2    2 2 2  (3.3.3) Преобразуем уравнение к виду: 0 2 2 2     k dx d или 0 (3.3.4)  k  2 где ввели волновое число: 2 2 2  (3.3.5)mE k Решения вне ямы не существует, поскольку там потенциальная энергия равна бесконечности, и частица не может находиться вне ямы. Для учета этого обстоятельства введем граничные условия, запрещающие частице находиться на левой и правой стенках потенциальной ямы: 0 (3.3.6) a  0 Общее решение уравнения (3.3.4) представляем в виде: Bcos kx (3.3.7) Asinkx  Для определения коэффициентов в (3.3.7) используем граничные условия: 0 B  0при x = 0, , откуда получаем коэффициент В = 0. 0 , откуда получаем, что Asinka  aпри x = а, 0 , иsinka n ka (коэффициент 0A , иначе внутри вообще нет частицы), где n = 1,2,3,... Фактически полученное равенство (3.3.8)n ka есть условие квантования уровней энергии в потенциальной яме с бесконечными стенками, поскольку решения отличные от нуля имеются только при определенном наборе волновых чисел. Итак, получаем окончательно решение уравнения (3.3.4): x a n n Asin (3.3.9)  Эти функции являются собственными функциями гамильтониана из уравнения (3.3.2) при данных граничных условиях (3.3.6).

ВОПРОС№20

  Прохождение частицы через потенциальный барьер.

 Рассмотрим одномерный прямоугольный потенциальный барьер

 Частица движется слева направо. Слева от барьера имеем падающую и отраженную волну, а за барьером только прошедшую волну.

Лабораторная работа 105 Изучение вращательного движения твердого тела

 Уравнение Шрёдингера для областей I, II и  III имеет вид:

Где

 , 

6 - 6

 Волновые функции, являющиеся решением этих уравнений

 Из решения этой системы уравнений получают, применив некоторые упрощающие допущения, выражение для коэффициента прозрачности D прямоугольного барьера

 Для потенциального барьера произвольной формы

 Пределы интегрирования х1 и х2 определяют из решения уравнения U( x ) = E .

 Туннельный эффект

 Прохождение частицы через потенциальный барьер, высота которого превышает энергию частицы, получило название туннельного эффекта (частица, проходя под барьером, как бы движется в туннеле). При прохождении через барьер полная энергия частицы Е не меняется.

 Туннельный эффект представляет собой чисто квантовое явление.

 Этим эффектом объясняются многие физические явления; например, холодная эмиссия электронов из металла (автоэмиссия), альфа-распад, спонтанное деление ядер и др.

6 - 7

 На левом рисунке представлен потенциальный барьер треугольной формы, имеющий место на границе металл-вакуум в явлении холодной эмиссии электронов из металла. Электрон в металле находится в потенциальной яме глубиной U0 . Если вблизи поверхности металла имеется электрическое поле напряжённостью    , способствующее выходу электронов из металла, то потенциальная энергия электрона вблизи поверхности металла может быть представлена в виде

 При туннелировании электронов через этот барьер происходит их выход из металла даже при низких температурах.

 На правом рисунке представлен потенциальный барьер α-частицы в поле ядра. На больших расстояниях r между α-частицей и ядром действуют силы кулоновского отталкивания и потенциальная энергия частицы

 , где

Ze – заряд дочернего ядра; 2е – заряд α-частицы.

  Внутри ядра (r < r0 ) α-частица находится в потенциальной яме, выйти из которой она может только за счёт туннельного эффекта.

21.

Статистические свойства квантового осциллятора

  Как известно, гармоническим осциллятором называется система, способная совершать гармонические колебания. В физике модель гармонического осциллятора играет важную роль, особенно при исследовании малых колебаний систем около положения устойчивого равновесия. Примером таких колебаний в квантовой механике являются колебания атомов в твердых телах, молекулах и т.д.

     Рассмотрим одномерный гармонический осциллятор, совершающий колебания вдоль оси под действием возвращающей квазиупругой силы . Потенциальная энергия такого осциллятора имеет вид

     

(4.77)

     где - собственная частота классического гармонического осциллятора. Таким образом, квантово-механическая задача о гармоническом осцилляторе сводится к задаче о движении частицы в параболической потенциальной яме (4.77) .

Энергия колебаний

Полная механическая энергия колеблющегося тела равна сумме его кинетической и потенциальной энергий и при отсутствии трения остается постоянной:

В момент, когда смещение достигает максимума х = А, скорость, а вместе с ней и кинетическая энергия, обращаются в нуль.

При этом полная энергия равна потенциальной энергии:

Полная механическая энергия колеблющегося тела пропорциональна квадрату амплитуды его колебаний.

Когда система проходит положение равновесия, смещение и потенциальная энергия равны нулю: х = 0, Е _п = 0. Поэтому полная энергия равна кинетической:

Полная механическая энергия колеблющегося тела пропорциональна квадрату его скорости в положении равновесия . Следовательно:

Отсюда:

22. Правило отбора

Правилами отбора в спектроскопии называют ограничения и запрет на переходы между уровнями квантомеханической системы с поглощением или излучением фотона, наложенные законами сохранения и симметрией.

Теория атома водорода

полуклассическая модель атома, предложенная Нильсом Бором в 1913 г. За основу он взял планетарную модель атома, выдвинутую Резерфордом. Однако, с точки зрения классической электродинамики, электрон в модели Резерфорда, двигаясь вокруг ядра, должен был бы излучать энергию непрерывно и очень быстро и, потеряв её, упасть на ядро. Чтобы преодолеть эту проблему, Бор ввёл допущение, суть которого заключается в том, что электроны в атоме могут двигаться только по определённым (стационарным) орбитам, находясь на которых они не излучают, а излучение или поглощение происходит только в момент перехода с одной орбиты на другую. Причём, стационарными являются лишь те орбиты, при движении по которым момент количества движения электрона равен целому числу постоянных Планка^[1]: .

Используя это допущение и законы классической механики, а именно равенство силы притяжения электрона со стороны ядра и центробежной силы, действующей на вращающийся электрон, он получил следующие значения для радиуса стационарной орбиты и энергии находящегося на этой орбите электрона:

Здесь  — масса электрона,  — количество протонов в ядре,  — электрическая постоянная,  — заряд электрона.

Квантовые числа

Ква́нтовое число́ в квантовой механике — численное значение какой-либо квантованной переменной микроскопического объекта (элементарной частицы, ядра, атома и т. д.), характеризующее состояние частицы. Задание квантовых чисел полностью характеризует состояние частицы.

Некоторые квантовые числа связаны с движением в пространстве и характеризуют вид волновой функции частицы. Это, например, радиальное (главное) ( ), орбитальное ( ), магнитное ( ) и спиновое квантовые числа электрона в атоме, которые определяются как число узлов радиальной волновой функции, значение орбитального углового момента, его проекция на заданную ось и спин частицы, соответственно.

Некоторые другие квантовые числа никак не связаны с перемещением в обычном пространстве, а отражают «внутреннее» состояние частицы. К таким квантовым числам относится спин и его проекция. В ядерной физике вводится также изоспин, а в физике элементарных частиц появляется цвет, очарование, прелесть (или красота^[1]) и истинность.

Спин электрона

Спин в квантовой механике обозначает собственный момент импульса отдельных элементарных частиц и их связанных состояний в виде ядер и атомов. В отличие от орбитального момента импульса, спин не связан с перемещением в пространстве центра инерции частицы, и является её внутренней характеристикой. Поскольку спин является вектором, он имеет направление в пространстве и отражает вращение составных элементов частицы. У ядер и атомов спин определяется по правилам квантовой механики как векторная сумма орбитальных и спиновых моментов импульса составляющих частиц, с учётом квантования проекций моментов импульса. При увеличении размеров системы и количества частиц в ней орбитальные моменты импульса могут быть много больше, чем спиновые моменты импульса. Это приводит к тому, что спин макросистемы в виде отдельного тела почти полностью зависит от орбитального вращения элементов вещества тела вокруг некоторой оси.

В квантовой механике квантовые числа для спина не совпадают с квантовыми числами для орбитального момента частиц, что приводит к неклассической трактовке спина. Кроме этого, у спина и орбитального момента частиц возникает различная связь с соответствующими магнитными дипольными моментами, сопровождающими любое вращение заряженных частиц. В частности, в формуле для спина и его магнитного момента гиромагнитное отношение не равно 1.

Размеры атомов и молекул много больше размеров атомных ядер, так что спин какого-либо атома определяется его электронной оболочкой. В заполненных атомных оболочках количество электронов чётно и их суммарный момент импульса равен нулю. Поэтому за спин атомов и молекул ответственны неспаренные электроны, находящиеся обычно на внешней оболочке. Считается, что именно спин неспаренных электронов приводит к явлению парамагнетизма.

Ниже указаны спины некоторых элементарных и составных частиц.

спин	общее название частиц	примеры
0	скалярные частицы	π-мезоны, K-мезоны, хиггсовский бозон, атомы и ядра 4He, чётно-чётные ядра, парапозитроний
1/2	спинорные частицы	электрон, кварки, протон, нейтрон, атомы и ядра 3He
1	векторные частицы	фотон, глюон, векторные мезоны, ортопозитроний
3/2	спин-векторные частицы	Δ-изобары, гравитино
2	тензорные частицы	гравитон, тензорные мезоны