1. Основные понятия теории колебаний

Колебания — это процессы, которые имеют какую либо степень повторяемости во времени. Свободные(собственные) колебания — это колебания, которые предоставляют сами себе системы,  вызванные  первоначальным кратковременным  внешним возбуждением. Колебательная система — это такая система, которая способная производить свободные колебания. Колебательная система соответствует следующим условиям: 1)  необходимо положение устойчивого равновесия; 2)  необходим  фактор,  не  позволяющий  системе  остановиться в положении равновесия в процессе колебаний; 3)  трение в системе должно быть небольшим, а собственная  частота колебательной системы обусловливается только параметрами системы. Амплитуда колебаний — это максимальное значение величины (для механических колебаний это смещение), которая  совершает колебания. Период колебаний — это  самый  маленький отрезок  времени, через который  система совершает колебания, снова возвращается в исходное состояние,  т. е. в начальный момент. Частота колебаний — это физическая  величина, равная числу колебаний, которые совершаются  в единицу времени. Циклическая частота — это характеристика гармонических колебаний, совершаемых за  Фаза колебаний — это аргумент функции, который  периодически изменяется. Затухающие колебания — это собственные  колебания, у которых амплитуда уменьшается  со временем, что обусловлено потерями энергии колебательной  системой.  Коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания  — это характеристика  быстроты  уменьшения  амплитуды в случае механических  колебаний, где энергия  убывает за счет действия сил трения и других сил сопротивления. Декремент затухания  — это количественная характеристика быстроты  затухания колебаний, которая  определяется натуральным логарифмом  отношения   двух  последовательных  максимальных отклонений     колеблющейся величины в одну сторону: Декремент затухания — величина, обратная  числу  колебаний, по  истечении которых  амплитуда убывает в: е раз е  = 2,71828). Промежуток времени, необходимый для этого, называется временем релаксации. Дифференциальное уравнение малых затухающих  колебаний системы: Вынужденные колебания — это колебания, которые возникают под действием внешней периодической силы. Дифференциальное уравнение вынужденных  колебаний:  Резонанс — это  процесс  резкого  возрастания  амплитуды вынужденных  колебаний при приближении  циклической частоты    вынуждающей силы к собственной  циклической частоте    колебательной системы. Автоколебания — это незатухающие колебания физической системы, которые способны  существовать без воздействия на нее внешних сил.  Автоколебательная система — это физическая система, где имеет место существовать автоколебания. Автоколебательная система состоит из следующих частей: 1) колебательная система,  в которой  параметры  определяют  частоту автоколебаний; 2)  источник  энергии, который  способствует  поддержанию колебаний; 3)  клапан, который   регулирует поступление  энергии  в  колебательную систему; 4)  положительная обратная  связь, которая  способна  управлять клапаном в колебательной  системе. Обратная связь —  это  воздействие результатом какого-либо процесса на его протекание. Обратная связь бывает: положительная — это  связь,  которая  приводит к  увеличению отклонения; отрицательная — это  связь,  которая  приводит к уменьшению отклонения; Периодические колебания  — это колебания, которые имеют изменяющиеся значения физических величин, но которые повторяются через равные отрезки времени. Смещение — это  физическая  величина, которая  является характеристикой  колебаний, равная отклонению тела от положения равновесия в данный момент времени.

2. Пружинный, физический и математический маятники

Математический маятник — это  тело малых размеров, подвешенное  на тонкой  нерастяжимой  нити, масса которой  ничтожно мала по сравнению с массой тела. В положении равновесия, когда маятник  висит по отвесу, сила тяжести      уравновешивается силой натяжения нити      . Составляющая силы  тяжести   при  отклонении   маятника из положения равновесия на  некоторый угол ф :    где знак «минус» означает,  что касательная составляющая на- правлена в сторону,  противоположную отклонению маятника. Второй  закон  Ньютона для  математического  маятника  запишется:   где x —  линейное смещение маятника  от положения  равно- весия по дуге окружности, l — радиус.

Угловое смещение будет равно  Для малых колебаний математического маятника второй закон Ньютона записывается в виде: Если математический маятник совершает малые колебания, то он является гармоническим  осциллятором.  Собственная  частота малых колебаний математического  маятника: Период малых колебаний математического  маятника  определяется: Физический маятник  — это  тело, которое  является  твердым, производящее  колебания в поле  каких-либо сил  относительно точки, которая не является центром масс этого тела, или горизонтальной оси. Второй  закон  Ньютона  для физического  маятника  принимает вид: Собственная частота малых колебаний физического маятника:  Период  малых колебаний физического  маятника  определяется:  Круговая  частота свободных колебаний физического маятника определяется выражением:   Центр качания физического маятника — это точка,  где необходимо сосредоточить всю массу физического  маятника,  чтобы  его период колебаний оставался постоянным. Физический маятник обладает следующим замечательным свойством: если физический  маятник  подвесить за центр качания,  то его период колебаний будет постоянным, а прежняя точка подвеса станет новым центром качания.

Пружинный маятник — это колебательная система, которая состоит из груза, подвешенного к абсолютно упругой пружине. Пружинный  маятник   совершает   гармонические   колебания с циклической частотой: где k  — коэффициент жесткости. Период пружинного  маятника определяется: Уравнение движения пружинного  маятника при этом имеет вид: