Лекция 8 Производственные функции

Рекомендуемая литература:

1. Терехов Л.Л. Производственные функции. М.: Статистика, 1974

2. Гранберг А.Г. Моделирование социалистической экономики. М.: Экономика, 1988

3. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. М.:ДИС, 1997

Производственной функцией называется зависимость между объемами затрачиваемых в производстве ресурсов и объемом выпускаемой продукции.

Производственная функция (ПФ) может быть однофакторной или многофакторной. В микроэкономике принято считать, что ПФ это максимально возможный выпуск продукции, если ресурс затрачивается в количестве x единиц. В макроэкономике такое понимание не совсем корректно: возможно при ином распределении ресурсов между структурными единицами экономики выпуск мог бы быть и большим. В этом случае ПФ статистически устойчивая связь между затратами ресурса и выпуском. Более правильной в данном случае является символика y = f(x,a), где а вектор параметров ПФ.

Наиболее распространена мультипликативная ПФ в виде y= ax^b, где х- величина затрачиваемого ресурса, а а и b параметры ПФ. График производственной функции при b  1 хорошо известен и его особенностью является непрерывный рост выпуска при увеличении затрачиваемого ресурса, но при этом каждая дополнительная единица ресурса дает все меньший прирост объема выпуска продукции. Этот факт отражает фундаментальное положение экономической теории называемое законом убывающей эффективности.

В микроэкономике ПФ используется для анализа и планирования работы предприятия или фирмы. В макроэкономике в качестве объекта используется связь между годовыми затратами труда в масштабе региона или страны в целом и годовым конечным выпуском продукции. Затраты труда измерялись в человеко-часах или днях, а выпускаемая продукция может быть измерена в натуральных или денежных показателях.

При построении ПФ региона или страны в качестве величины годового выпуска Y чаще всего берется совокупный доход, исчисляемый в неизменных, а не в текущих ценах. В качестве ресурса рассматривается основной капитал К и живой труд L обычно исчисляемый в стоимостном выражении. Такая функция носит имя Кобба-Дугласа (ПФКД) и имеет вид . Впервые функция была применена авторами в 1929 году.

В современной форме часто используется третий фактор затрачиваемые природные ресурсы.

Часто а₁+а₂=1. В этом случае ПФКД можно преобразовать следующим образом:

(1)

Тогда можно ввести обозначения z= Y/L и k=K/L, называемые соответственно производительностью труда и капиталовооруженностью труда и ПФКД тогда превращается в однофакторную функцию. В связи с тем, что 0 < а₁ <1, из последней формулы следует, что производительность труда растет медленнее капиталовооруженности.

При построении ПФ научно-технический прогресс учитывается с помощью введения множителя НТП e^pt, где параметр р характеризует темп прироста выпуска под влиянием НТП:

y(t)=e^ptf(x₁(t), x₂(t),) (t= 0,1, , T). (2)

Такая ПФ является простейшим примером динамической ПФ, она включает нейтральный, т.е. не материализованный в одном из факторов технический прогресс.

Выделение существенных видов ресурсов (факторов производства) и выбор аналитической формы ПФ называется спецификацией ПФ.

Преобразование реальных и экспертных данных в модельную информацию, т.е. расчет численных значений параметров ПФ на базе статистических данных с помощью регрессионного и корреляционного анализа, называется параметризацией ПФ.

Проверка истинности (адекватности) ПФ называется ее верификацией.

Спецификация определяется, прежде всего, теоретическими соображениями, которые учитывают макро и микроэкономические особенности объекта исследования, параметризация также использует для сглаживания результатов ряда лет методы наименьших квадратов.

Для иллюстрации приведем таблицу значений параметров производственной функции Кобба-Дугласа для экономики США за различные промежутки времени (из Терехова Л.Л.).

Годы	Параметры			Авторы
	А1	А2	А1+а2
1899-1922	0,25	0,75	1,00	Дуглас
1904	0,31	0,65	0,96	Дуглас
1919	0,25	0,76	1,01	Дуглас
1869-1948	0,70	0,25	0,95	Валавание
1900-1953	0,16	0,84	1,00	Клейн
1921-1941	0,34	2,13	2,47	Тинтер
1934-1959	0,41	0,91	1,32	Михалевский

Параметры разными авторами рассчитывались по различной методике, поэтому пестрота картины не является неожиданной. Обращает на себя существенное превышение параметра а₂ над параметром а₁. Также почти у всех авторов сумма параметров близка к единице. Аналогичные данные по СССР за период 1960-1985 годы соответственно равны а₁=0,5382; а₂= 0,4618 и сумма равна 1,0000. Коэффициент а₀= 1,022. При использовании этих данных для прогноза на 1986 год ошибка составила 3%, что говорит об относительно небольшой точности прогноза. С учетом научно-технического прогресса ПФ имеет следующий вид:

Y= 1.038 e^0.0294tK^0.9749L^0.2399 (3)

(Цитируется по Гранбергу А.Г.)

Свойства производственных функций:

1. f(0.0) =0; f(0,x)=f(x,0)=0. Свойство 1 означает, что без расхода ресурсов нет выпуска, и расход только одного ресурса не дает выпуска продукции.

2. x1>x2  f(x1)>f(x2), С ростом затрат хотя бы одного ресурса выпуск продукции растет.

3. x>0  >0. С ростом затрат одного ресурса при неизменном количестве другого ресурса объем выпуска растет.

4. x>0  <0. С ростом затрат одного ресурса при неизменном количестве другого, величина прироста на каждую дополнительную единицу i-го ресурса не растет (закон убывающей эффективности).

5. x>0  >0. При росте одного ресурса предельная эффективность другого ресурса возрастает.

6. f(tx₁,tx₂) = t^pf(x_1,x₂) ПФ является однородной функцией степени р. При р> 1 с ростом масштаба производства в t раз объем выпуска возрастает в t^p раз, т.е. имеем рост эффективности производства от роста масштаба производства.

Для определения экономического смысла параметров возьмем частную производную по независимой переменной от функции:

(4)

В результате получим:

(5).

Умножив и поделив правую часть на х₁ с учетом (4) получим следующее:

(6),

После преобразования можем выразить величину параметра :

(7).

Нам удобнее рассматривать отношение величин и . Отсюда легко получить экономический смысл параметров который трактуется как эластичность выпуска по затратам производства или на сколько процентов изменится выпуск при изменении расхода ресурса на единицу.