Конечные разметки сети

Одна из основных проблем в теории сетей Петри - задача о конечности функционирования сети (о достижении тупиковой разметки, “смертельные объятия” и т.д.).

Суть проблемы состоит в ответе на вопрос для данной конкретной сети - существует ли такая последовательность срабатывания переходов, которая приводит сеть к тупиковой разметке (т.е. разметке, при которой ни один переход не может сработать)?

Если обратиться к рис.3 - очевидно, что последовательность P2,P2,P2,P2 (т.е. четыре подряд срабатывания перехода P2) делают дальнейшее срабатывание любого перехода в данной сети - невозможным. Желающие могут найти и другие последовательности срабатывания переходов, приводящих к такому результату.

Более того, анализ сети позволяет утверждать, что эта сеть всегда приходит к тупиковой разметке. Это математическое утверждение (теорема!) может быть строго доказано.

Заметим, что хотя рассматриваемая сеть обязательно останавливается, т.е. достигает тупиковой разметки, но сами эти тупиковые разметки могут быть различны.

Например, утверждение: “ сеть на рис.3 всегда останавливается, когда все фишки собраны в позиции V2” - справедливо.

А похожее утверждение: “ сеть на рис.3 всегда останавливается, причем все фишки собраны в позиции V2” - не верно.

Свойство достижения конечной разметки присуще далеко не всем сетям. Например, на рис.4 приведен пример сети всегда приходящей к тупиковой разметке, на рис.5 - сеть никогда не “попадает в тупик”, на рис. 6 - сеть, которая может остановиться, а может и нет.

Ограниченность

Другое направление исследования функционирования сети Петри связано с изменением количества фишек в конкретной или произвольной позиции в процессе функционирования сети.

Под ограниченностью понимают свойство сети не допускать превышения количества фишек в конкретной или произвольной позиции некоторого фиксированного числа.

Если ни в одной позиции сети при любой последовательности срабатываний переходов количество фишек не превышает некоторого K, то такую сеть называют K-ограниченной.

Например, сеть на рис.7 является ограниченной - при любом срабатывании сети количество фишек в любой позиции не превысит 1. Заметим, что само функционирование этой сети - бесконечно. Т.е. у данной сети отсутствует тупиковая разметка.

Так же не достигается тупиковая разметка сети на рис.8. Однако эта сеть не является ограниченной - количество фишек в любой позиции может увеличиваться бесконечно.

Другое свойство сети - безопасность.

Моделирование с помощью сетей Петри

В первой статье этого цикла говорилось о двух основных подходах к моделированию объектов графами - “географическом” (граф соответствует структуре моделируемого объекта) и “состоятельном” (граф соответствует процессам, т.е. изменению состояний объекта).

Представим себе сеть Петри, изображающую структуру человеческого организма, где позиции соответствуют органам, дуги (с переходами) - кровеносным сосудам, фишки - некоторому стандартному объему крови. Если такая сеть не является ограниченной, то количество фишек в какой-либо позиции (и, соответственно, количество и давление крови в этом органе может возрастать) неограниченно. Что, естественно, соответствует кровоизлиянию.

Сети Петри, позволяя использовать такой подход, чаще применяются для моделирования процессов.

Например, на рис.9 изображена сеть, моделирующая известный эксперимент по выработке условного рефлекса слюноотделения у собаки как реакции на электрический звонок.

Рассмотрим данную сеть подробнее. Здесь позиции именуются буквами латинского алфавита: переходы - буквой P с номером. Позиция A соответствует множеству порций пищи, используемой в эксперименте, причем каждая порция изображается одной фишкой, размещаемой в данной позиции. Позиция B соответствует экспериментатору, а фишка в этой позиции изображает его готовность приступить к эксперименту. Позиция C представляет электрический звонок, а фишка в этой позиции - способность звонка звонить.

Сразу же видно различие в стартовой разметке

,