Десятичная и двоичная системы счисления Десятичная система

Известная нам десятичная система располагает десятью однозначными цифрами (разрядами) от 0 до 9. Число 10 – уже двузначное. Запись числа Nпредставляют в виде суммы по степеням этих чисел с основанием 10:

N = а ∙10⁰ + в ∙10¹ + с ∙10² + d ∙10³ + …

Например,

5379 = 9 ∙10⁰ + 7 ∙10¹ + 3 ∙10² + 5 ∙10³.

т.е 5 тысяч, 3 сотни, 7 десятков и 9 единиц, а начальная нулевая степеньобусловливает запись и чтение этого числа справа налево, т.е. 9 единиц в разряде единиц,, 7 единиц в разряде десятков, 3 единицы в разряде сотен и 5 единиц в разряде тысяч.

Конечно, в качестве основания можно взять и любое другое число m. Для формирования кодовых комбинаций в качестве основания взято число 2 и принята оказавшаяся удобной при этом двоичная система счисления.

Двоичная система

В записи двоичного числа, как указывалось, участвуют не 10, а только два числовых знака: 0 и 1, а в качестве основания взято также число 2.

Перевод целого десятичного числа производится методом последовательного деления его на 2. При этом количество действий увеличивается до тех пор, пока частное не станет равно нулю, а итоговое двоичное число записывается в виде полученных остатков справа налево. Так, при переводе числа 19 в двоичное, имеем:

19 /2 = 9 с остатком 1 9 /2 = 4 c остатком 1 4 /2 = 2 с остатком 0 2 /2 = 1 с остатком 0

1 /2 = 0 с остатком 1

Ставим числа из остатка друг за другом, начиная с конца. В результате получаем число 19 в двоичной записи (начиная с конца) :

10011.

Теперь наоборот, переведем двоичное число в десятичное. Пусть дано двоичное число с шестьюразрядами (т.е. с максимальной степенью 5) –

110001

Для перевода в десятичное запишем его как сумму по разрядам следующим образом:

1 ∙ 2⁵ + 1 ∙ 2⁴ + 0 ∙ 2³ + 0 ∙ 2² + 0 ∙ 2¹ + 1 ∙ 2⁰ = 49, т.е.

1 ∙ 32 + 1 ∙ 16 + 0 ∙ 8 + 0 ∙ 4 + 0∙ 2 + 1 ∙ 1 = 49

Для удобства расчетов со степенями здесь представляем следующую таблицу.

Преобразование дробных двоичных чисел в десятичные

Нужно перевести число 1011010,101 в десятичную систему. Запишем это число следующим образом:

1 ∙ 2⁶ + 0 ∙ 2⁵ + 1 ∙ 2⁴ + 1 ∙ 2³ + 0 ∙ 2² + 1 ∙ 2¹ + 0 ∙ 2⁰ + 1 ∙ 2^-1 + 0 ∙ 2^-2 + 1 ∙ 2^-3 = 90,625, т.е.

1 ∙ 64 + 0 ∙ 32 + 1 ∙ 16 + 1 ∙ 8 + 0 ∙ 4 + 1 ∙ 2 + 0 ∙1 + 1 ∙ 0,5 + 0 ∙ 0,25 + 1 ∙ 0,125 = 90,625

Или по таблице:

64	32	16	8	4	2	1,	0,.5	0,25	0,125
1	0	1	1	0	1	0,	1	0	1
+64	+0	+16	+8	+0	+2	+0	,+0.5	+0	+0.125

3.

Кодо-импульсная модуляция (ким)

КИМ позволяетсформировать и передать в канале связи любую непрерывную функцию (сообщение) посредством двоичного кода.

а)

б)

в)

Рисунок 2. Подлежащая передаче функция (а), дискретные отсчеты (б) и кодовые комбинации (в), полученные посредством КИМ.

Если бы мы передавали непосредственно последовательность импульсов различной амплитуды (рисунок 2-б), то это была бы обычная амплитудно-импульсная модуляция АИМ. Однако,нам необходимо передать закодиро-ваннуюс помощью двоичной системы цифровую информацию в известном виде:

N = a ∙2⁰ + b∙2¹+ c∙2² + d∙2³ +…,

гдеa, b, c…-однозначные числа 0 или 1.

Таблица 1.

При помощи двузначных двоичных чисел можно записать десятичные числа от 0 до 3 — всего 2²= 4, при помощитрехзначных — числа от 0 до 7 — всего 2³ =8 —чисел, при помощи п-значных двоичных чисел можно представить всего 2ⁿ чисел.

Обратимся к рисунку 2. Подлежащая передаче последова­тельность чисел в десятичной записи выглядит так(рисунок 2-б)):

5, 7, 9, 7, 5, 2, 3, 6...

Трехзначных чисел для записи этой последовательности по двоичной системе нам нехватает, придется взять четырех­значные числа, дополняя начальные нули. Получится последовательность (см. таблицу 1)

0101, 0111, 1001, 0111, 0101, 0010, 0011, 0110

Сформированные таким образом кодовые комбинации с общим конечным числомN, определяющим число уровней квантования (дискретизации), подаются в линию или на модулятор.

В таком случае мы можем определить необходимое число знаков в двоичной кодовой комбинации из соотнощения:

N = 2ⁿ, n = Log₂N ,

где2- основание кода; n- число знаков в комбинации.

Отсюда следует, что функция передается тем точнее, чем меньше шаг квантования (больше ступеней квантования), однако, тем длиннее требуется сама кодовая комбинация, что нежелательно. Поэтому исходят из компромиссных решений.

Так для телефонной передачи достаточно N≈100 и возможна КИМ при семизначном двоичном коде, так как 2⁷ = 128.

4.