Двухфакторный дисперсионный анализ, двойная группировка

П редполагает разложение суммы квадратов отклонений всех значений от их общего среднего на три составляющих. Q=Q₁+Q₂+Q₃.

. Взвешенная сумма квадратов отклонений средних значений по группам первого фактора (А) от общего среднего значения:

(В). Q₃ – остаточная дисперсия: .

Схема дисперсионного анализа может быть представлена в таблице:

Изменчивость	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Оценка дисперсии
Общая	Q	ν=mn-1
Между группами дисперсии А	Q1	m-1
Между группами дисперсии В	Q2	n-1
Остаточная	Q3	(m-1)(n-1)

Д алее следует рассчитать две f-статистики:

П ри этом S₃² должно быть обязательно меньше двух других оценок дисперсий. В качестве примера можно привести исследование влияния различных электродов (фактор А) и фотопластинок (В) на величину, характеризующую интенсивность света. Данные следует оформлять в виде таблицы, в которой кроме x_ij, то есть наблюдений, полученных при действии i^ого уровня фактора А и j^ого уровня фактора В нужно указать среднее значение (правый столбец таблицы) и (нижняя строка таблицы).

Модели непараметрической статистики Априорное ранжирование факторов

Существует ряд задач, где напрямую не определяются параметры распределения. Одним из самых распространенных классов задач является группировка тех или иных объектов в соответствии с набором ряда признаков. В рамках этого класса задач простейшей задачей является задача ранжирования тех или иных объектов, обладающих рядом свойств, в том числе качественных. В рамках этой задачи рассматривается модель обработки данных экспертного анализа. Пусть для проведения экспертизы приглашены m экспертов. Каждый эксперт должен установить важность каждого из n факторов, задав каждому фактору определенное место или ранг. Ранги могут быть расположены по возрастанию или убыванию. И в том и в другом случае нужно проанализировать каждую полученную ранжировку. А именно:

• Эксперт каждому фактору присваивает собственный ранг. Тогда сумма всех рангов, присвоенных i^ым экспертом n-факторам равна сумме элементов арифметической прогрессии. Эта сумма является весовым коэффициентом каждого эксперта.

• Если эксперт затрудняется присвоить индивидуальный ранг каждому фактору, а присваивает индивидуальные ранги группе факторов, то говорят, что ранжировка содержит связанные ранги. Тогда нужно выполнить преобразования, заменив одинаковые ранги средним значением суммы этих рангов в нормальной ранжировке:

Фактор	1	2	3	4	5
Место	2	1	2	1	3

Место	2	1	2	1	3
Среднее значение	3,5	1,5	3,5	1,5	5

В приведенной выше таблице две группы связанных рангов, содержащих в каждой группе по два ранга.

По данным нормальной матрицы ранжирования можно найти: 1.Коэффициент конкордации, который служит мерой согласованности мнений экспертов и является единой выборочной мерой связи признаков. Этот коэффициент был предложен Кенделлом и Бебингтоном Смитом. Коэффициент можно рассчитать по формуле, которая учитывает связанные ранги: ,

г де

. – среднее значение суммы рангов матрицы.

- сумма рангов, присвоенных всеми экспертами j^ому фактору. T_i оценивает связанные ранги:

, где t – количество связанных рангов в одной группе в i^ой ранжировке. l – количество групп, связанных рангами в i^ой ранжировке. W меняется от 0 до 1. Считается, что чем W ближе к 1, тем лучше мнение экспертов отражает реальность. После расчета W обязательно нужно оценить его значимость. Можно воспользоваться χ²-статистикой: . Если χ²_расч> χ²_табл, полученного при ν=n-1, H₀ о равновероятности всех возможных ранжировок должна быть отвергнута. W – значима.

2.Коэффициент ранговой корреляции: бывают двух видов:

• к оэффициент ранговой корреляции Спирмена (1904):

, d_j – разность рангов j^ого фактора назначенных двумя экспертами: .

• коэффициент ранговой корреляции Кенделла:

,

где sign(x)=-1, если x<0

0, если x=0

1, если x>0

Н аиболее широкое применение находит коэффициент Спирмена. После расчетов этих коэффициентов нужно обязательно оценить их значимость. Значение ρ и τ меняются от 0 до 1.

. Критическая точка двусторонней критической области при выбранном α и k=n-2. Если |ρ|<t_кр, то H₀ принимается, то есть ранговая корреляционная связь между качественными признаками не значима. H₀: ρ=0 в генеральной совокупности.

Коэффициент Кенделла:

, где Z_кр – критическая точка двусторонней критической области, которая находится на таблице функции Лапласа:

. Если |τ|<T_кр, то H₀ принимается, иначе отвергается.

Задача: нужно определить степень важности, а, следовательно, и очередность автоматизации ряда процессов легкой промышленности. Были приглашены 6 экспертов, которым было предложено проранжировать 8 процессов:

• Подача материала к рабочим элементам швейных машин.

• Транспортировка рулонов ткани от склада к раскройным столам.

• Автоматизация вспомогательных приемов на пошивочном участке.

• Внутрипроцессорная транспортировка полуфабрикатов.

• Складирование рулонов ткани.

• Раскрой ткани.

• Разбраковка и промер ткани.

• Комплектовка тканей.

Требуется построить диаграмму рангов, дать заключение о согласованности мнений экспертов, провести анализ результатов. В результате анкетирования была получена информация, которая представлена в исходной матрице ранжирования.

ЭкспертФактор	1	2	3	4	5	6	7	8
1	5	4	6	7	8	2	1	3
2	2	3	2	2	3	1	1	3
3	5	6	3	4	7	2	1	2
4	5	3	6	7	2	4	1	4
5	6	5	4	2	3	1	1	7
6	6	2	7	8	1	4	3	5

Здесь первый и шестой эксперты не затруднились в ранжировании предложенных процессов, присвоив каждому процессу свой индивидуальный ранг. Все остальные эксперты некоторым факторам присвоили одинаковые ранги, причем второй эксперт условно разбил 8 процессов на три группы. То есть, сформированы три группы связанных рангов l=3, при этом в первой группе содержится два связанных ранга: t₁=1, t₂=3, t₃=3. Данные исходной матрицы преобразуются в нормальную матрицу ранжирования.

ЭкспертФактор	1	2	3	4	5	6	7	8	Сумма	Количество связанных рангов
1	5	4	6	7	8	2	1	3	36	-
2	4	7	4	4	7	1,5	1,5	7	36	2, 3, 3
3	6	7	4	5	8	2,5	1	2,5	36	2
4	6	3	7	8	2	4,5	1	4,5	36	2
5	7	6	5	3	4	1,5	1,5	8	36	2
6	6	2	7	8	1	4	3	5	36	-
Σkij	34	29	33	35	30	16	9	30

Σ ранж

0

10

20

30

40

факторы

Диаграмма рангов ясно показывает, что экспертный опрос позволил выделить три группы процессов: первая группа включает в себя процессы 7 и 6, которые нужно подвергнуть первоочередной автоматизации. Во вторую группу вошли процессы 2, 5, 8. В последнюю – третью группу, можно включить процессы 3, 1, 4.