25.Признаки сходимости рядов с положит членами

На послед-ти построим частичные суммы . Cимвол , обозначающ предел частичн сумм ( ), наз рядом, где -- общ член ряда.Ряд - знакоположительн, если все .

Замечание1.В матанализе доказывается, что знаконеотрицательн ряд сходится =>частичн суммы ограничены.

Док-во след из теоремы Вейерштрасса о том, что огранич монотонная послед-ть имеет предел.

Лемма 1.   Если , то из сходимости след сходимость , а из расходимости след расходимость . Док-во. Рассмотр частичн суммы рядов (обозначим их и ). Если сходится, то постед-ть огранич, а раз , то тоже ограничена, т.е. также cходится. Из этого же неравенства следует утверждение о расходимости.

26.Знакоперем ряды.Абсолютн и усл сходимость

Числ ряд,содержащ бесконеч множеств положит и бесконечн множеств отрицательн членов, наз знакоперемен. Частн случаем знакоперемен ряда явл знакочередующ-ся ряд, то есть такой ряд, в кот последовательн члены имеют противоположн знаки.

Признак Лейбница . Для знакочеред-ся рядов действует достаточный признак сходимости Лейбница. Пусть {a_n} явл числ послед-тью, что

a_n+1 < a_n для всех n; . Тогда знакочеред-ся ряды и сходятся.

Абсолютн и условн сходимость

Ряд наз абсолютно сходящимся, если ряд также сходится. Если ряд сходится абсолютно, то он явл сходящ (в обычн смысле). Обратн утверждение неверно. Ряд наз условно сходящ, если сам он сходится, а ряд, составл из модулей его членов, расходится.

Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

Применим достаточн признак Лейбница для знакочеред-ся рядов. Получ

     

поскольку .=> данный ряд сходится.

27.Знакочер ряды.Признак Лейбница

Ряд наз знакочеред-ся, если его члены попеременно приним знач противоположн знаков, т. е.:

Призн Лейбница — признак сходимости знакочеред-ся ряда, установл Готфридом Лейбницем.

Теор:

Пусть для знакочеред-ся ряда

выполн след условия:

1. (монотонное невозраст-ие {a_n} по абсолютной величине)

2. . Тогда этот ряд сходится.

28.Функц ряды.Область сходимости

Функц ряд — ряд, каждым членом кот явл не число, а ф-ция .

Очевидно, что, подставляя в  то или иное знач «икс», мы получ различн числ ряды. Некотор числ ряды будут сходиться, а некот расход. И наша задача найти множество знач «икс», при кот степенной ряд  будет сход.Это множ-во наз областью сход-ти ряда.

Для люб степеного ряда возм 3 случая:

1) Степенной ряд сходится абсолютно на некот интервале . Иными словами, если мы выбир  люб знач «икс» из интервала  и подставл его в общ член степенного ряда, то у нас получ абсолютно сходящийся числ ряд. Такой интервал  и наз интерв сходимости степенного ряда.

Найдем обл сходимости этого ряда при любых x, следовательно, обл сход-ти ряда явл промежуток . Заметим,что так как ряд сходится абсол, то при люб x и тем более при любых x.

, , тогда