7.Интегралы от рац ф-ций

При вычисл интегралов след понизить степень тригонометрич ф-ций переходом к косинусу двойн угла: .Угол удваивается, пока одна из степеней не станет нечётн

9.Интегрир иррац ф-ций

Клас иррац ф-ций очень широк,поэтому универсальн способа их интегрир-ния быть не может.

Исп-зуя метод непосредств интегрирования,легко находятся неопред интегралы вида , где p–рац дробь,k и b–действительн коэфиц.

Бывают случаи, когда уместно исп-ние метода подведения под знак дифференциала.Например, при нахождении неопред интегралов вида , где p – рациональная дробь.Достаточно часто приходится иметь дело с неопред интегралами вида , где p и q –действительн коэффиц

10.Опред интеграл

I. Величина опред интеграла не зависит от обозначения переменой интегр-ния, т.е. , где х, t– люб буквы. II.Опред интегр с одинаков пределами интегрирования равен нулю.

III. При перестановке пределов интегр-ния опред интеграл меняет свой знак на обратный.

IV. Если промежуток интегр-ния [a,b] разбит на конечн число частичн промежутков, то опред интеграл, взятый по промежутке [a,b], равен сумме опред интегралов, взятых по всем его частичн промежуткам.

V. Пост множитель можно выносить за знак опред интеграла.

VI. Опреде интеграл от алгебраич сумы конечн числа непрерывн ф-ций равен такой же алгебраич сумме опред интегралов от этих ф-ций.

Опред интеграл — аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента кот есть интегрируемая ф-ция или ф-ционал,а вторая—область в множестве задания этой ф-ции

11. Ф-ла Ньютона—Лейбница

Формула Ньютона — Лейбница или основная теорема анализа даёт соотношение между двумя операциями: взятием определенного интеграла и вычислением первообразной. Если непрерывна на отрезке и  — ее любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство

12.Интегрир по частям в опред

Пусть ф-ции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывн производные на отрезке [а,b]. Тогда

(4)

где

Ф-ла (4) наз ф-лой интегр-ния по частям для опред интеграла.

Пусть «u» и «v»-две дифференц-уемые ф-ции от х. Тогда дифф-циал  произв uv вычисл по след  ф-ле  (uv)| = u|v+ uv|.

Интегрируя в пределах от “а” до “в”, получ в∫а(uv)|dx =в∫а u|vdx+в∫а uv|dx  Т.к. ∫(uv)|dx =uv+с , то в∫а(uv)|dx =uvв|а ; поэтому равенство может быть запис в виде в∫а udv= uv в|а – в∫аvdu.Эта ф-ла наз ф-лой интег-ния  почастям. Она примем к  интегр-нию выраж, кот можно  представить ввиде  произв двух сомножителей u  и dv , чтобы отыскание ф-ции  v по её дифференциалу dv и вычисл  интеграла в∫аvdu составл  в сов-сти задачу  более  простую , чем непосредств вычисл интеграла в∫аudv.

13. Замена перем в опред

Эта ф-ла носит назв ф-лы замены перем в опреде интегр.Подобно тому, как это было вслуч неопред интегр, исп замены перем позвол упростить интегр, приблизив его к табличн.При этом в отличие от неопред интегр в данном случае нет необход-ти возвращ к исходн переменной интегрирования. Достаточно лишь найти пределы интегр-ния α и β по нов переменной t как решение относит перем t уравн-ий φ(t)=а и φ(t)=в. На практике, выполняя замену переменной, часто нач с того, что указ выраж t=ψ(х) нов переменной через старую. В эт случае нахождение пределов интегр-ния по переменной t упрощ: α=ψ(а), β=ψ(в).