1.Первообразная.Неопред интеграл

Первообразной данной ф-ции f наз такую F, производн кот (на всей обл опред) равна f, то есть F ′ = f. Вычисл первообразной заключ в нахожд неопред интеграла, а сам процес наз интегрированием. Св-ва: 1.Первообразная суммы равна сумме первообразных.2.Первообразная произведения константы и ф-ции равна произвед константы и первообразн ф-ции.

Достаточным условием существования первообразной у заданной на отрезке ф-ции явл непрерывность ф-ции на этом отрезке. Необход усл сущ явл принадлежность ф-ции первому классу Бэра и выполн для неё св-ва Дарбу. У заданной на отрезке ф-ции любые две первообразные отлич на постоянную.

Св-ва неопред интеграла:

В привед ниже ф-лах f и g – ф-ции перемен x, F - первообразная ф-ции f, а, k, C - пост величины.

2.Осн неопред интегралы

Неопред интеграл для ф-ции — сов-ть всех первообразн данной ф-ции.

3.Интегрир почастям в неопр интегр

Интегр-ние почастя́м—один изспособов нахожд интегр.Суть метода:если подынтегральн ф-ция может быть представл ввиде произвед двух непрерывных и гладк ф-ций(кажд из кот может быть как элементарн ф-цией, так и композицией),то справедливы след ф-лы для неопред интеграла:

для опред:

4.Замена переменной в неопред

Замены перем и интегрирован по частям для опред интеграла, обычно позвол упростить запись решения. ТЕОР. Пусть ф-ция φ(t) имеет непрерывн производн на отрезке [α,β], а=φ(α), в=φ(β) и ф-ция f(х) непрерывна в кажд точке х вида х=φ(t), где t [α,β]. Тогда справедливо след равенство:

Эта ф-ла носит назв ф-лы замены перем в опред интеграле.

Подобно тому, как это было вслучае неопред интеграла, исп замены переменной позволяет упростить интеграл, приблизив его к табличному (табличным). При этом в отличие от неопред в данном случае нет необход-ти возвращ к исходн переменной интнегрирования.

5.Разлож на простейшие дроби

Пусть знаменатель правильн рац дроби может быть представл в виде (множителей вида может быть несколько), где —заданные числа

трехчлен не имеет действительн корней. Тогда представляется ввиде суммы простейш дробей 1—3 типов:

где — неизвестн коэффиц, кот находятся путем привед суммы справа к общ знаменателю и послед приравн получ числителя к . Пример:

6.Интегрир рац дробей

Целой рац ф-цией аргумента х наз многочлен, в кот переменная х только в цел степенях (в том числе х⁰=1). a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₂x² + a₁x + a₀

Дробн рац ф-цией аргумента х наз отноше целых рац ф-ций. Причем если степень числителя меньше степени знаменателя, дробь наз правильн. В противн случае – неправильн.

Алгоритм: Если дробь неправильн - выдел цел часть. Получ интеграл от цел части (интегрируется непосредственно) и интеграл от правильн дроби; Если числитель равен дифф-лу знаменателя (или отлич от него пост множителем), то исп замену переменной z=знамен-ль; Если числитель равен дифф-лу некого многочлена (или отлич от него пост множителем), а знаменатель равен степени того же многочлена, то исп замену переменной z=знаменатель; В остальн случ нужно разлож дробь на сумму простейш. Простейш дроби интегрируются в завис-ти от их вида