19)Степенные ряды. Область сходимости.
Степенным рядом называется функциональный ряд вида:
где
множители при степенях (x–x0)
– коэффициенты ряда, число x0
– центр интервала сходимости.
Сходимость
степенного ряда зависит от величины x.
Из теоремы Абеля для степенных рядов
следует, что область сходимости всякого
степенного ряда – некоторый интервал
(x0–R, x0+R),
называемый интервалом сходимости.
Во всех точках этого интервала степенной
ряд сходится и притом абсолютно, вне
интервала – ряд расходится. На границе
интервала различные степенные ряды
ведут себя по-разному. Число R –
половина длины интервала сходимости –
радиус сходимости. Если степенной
ряд сходится лишь в одной точке, то
радиус R = 0. Если ряд сходится при
любом x, то R =
. Радиус
сходимости степенного ряда можно найти
по формуле:
если соответствующие пределы существуют – конечные или бесконечные. При этом R = 0, если L = 0 и R = , если L = 0.
При решении примеров на применение степенных разложений к приближенным вычислениям следует использовать известные формулы разложения элементарных функций в ряды Маклорена. Они помещены в таблице 2. Заметим, что важную роль здесь выполняет следствие из теоремы Лейбница: для сходящегося знакочередующегося ряда остаток по абсолютной величине не превосходит первого из отброшенных членов. Опираясь на это следствие легко установить, сколько членов ряда нужно просуммировать, чтобы получить результат с заданной точностью. Разумеется, все расчеты надо проводить в рамках этой точности.
Таблица 1. Достаточные признаки сходимости положительных рядов
Название признака |
Формулировка признака |
Примечание |
1. Первый признак сравнения |
Пусть
сравниваются два положительных ряда
|
При сравнении могут полезными оказаться известные неравенства: sin tg , если 0 /2; ln n n, если n 2
|
2.Второй признак сравнения |
Если
существует конечный отличный от нуля
предел
|
В качестве эталонного ряда часто используют обобщенный гармонический ряд (1/np) который сходится при p1, а расходится при p1, а также “геометрический” ряд qn , который сходится при q1. |
3. Признак Даламбера |
Если
для положительного ряда
существует
конечный предел
|
В случае D = 1 признак «не работает»; нужен другой, более сильный признак. |
Радикальный признак Коши |
Если
для положительного ряда
существует конечный предел
|
Если K = 1, нужен другой признак |
Интегральный признак Коши |
Пусть
при х
f(x)
- непрерывная
монотонно убывающая положительная
функция, а члены ряда
являются
значениями этой функции натурального
аргумента:
Если интеграл расходится, то и ряд расходится.
|
Интегральный признак удобно применять к исследованию положительных рядов, для которых признаки Даламбера или радикальный не приводят к цели, а несобственный интеграл легко исследовать на сходимость |
и
.
Если для всех n,
начиная с некоторого N,
выполняются неравенства
,
то из сходимости «большего» ряда
следует сходимость «меньшего» ряда
;
если расходится «меньший» ряд
,,
то расходится также «больший» ряд
то ряды
и
одновременно сходятся, либо расходятся.
тогда при D
ряд сходится, а при D
- расходится.
то
при K1
ряд сходится, а при K1
– расходится.
.
Тогда ряд сходится, если сходится
несобственный интеграл