1. Положительные ряды.

Для исследования сходимости положительных рядов (т.е. рядов с неотрицательными членами: ) применяют достаточные признаки сходимости рядов. Среди них наиболее часто используют признаки сравнения, Даламбера, радикальный и интегральный признаки Коши .

17) Признаки сходимости положительных рядов: сравнения, Даламбера, радикальный и интегральный признаки Коши.

1. Положительные ряды.

Для исследования сходимости положительных рядов (т.е. рядов с неотрицательными членами: )применяют достаточные признаки сходимости рядов.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда Р ешение. Применим признак Даламбера. Записываем n-ый член ряда: (n+1)-ый член получим, если в выражении везде n заменим на (n+1): Найдем предел отношения:

Пример 2. Исследовать сходимость ряда Решение. Применим первый признак сравнения. В качестве «эталонного» ряда возьмем обобщенный гармонический ряд	Показатель степени гармонического ряда p=4/5, поэтому «эталонный» ряд расходящийся. Члены исходного ряда для всех n превосходят соответствующие члены «эталонного» ряда: Применяя первый признак сравнения, получаем, поскольку расходится «меньший» эталонный ряд, то расходится и «больший» исходный ряд.
Пример 3. Исследовать сходимость ряда Решение. Преобразуем общий член исходного ряда	Исходный ряд сравним с “эталонным” рядом Это “геометрический ряд, он сходится, т.к. знаменатель прогрессии q=2/3<1. Поскольку - конечное число, отличное от 0, то в силу второго признака сравнения заключаем, что исходный ряд сходится.
Пример 5. Исследовать сходимость ряда Решение. Здесь удобно применить радикальный признак Коши:	Следовательно, ряд сходится. Подчеркнем, здесь использовали известный « второй замечательный» предел
Пример 6. Исследовать сходимость ряда Решение. Рассмотрим функцию Она при x2 положительная, непрерывная и монотонно убывает. Можно применять интегральный признак.	Исследуем сходимость несобственного интеграла: Из интегрального признака заключаем, поскольку несобственный интеграл сходится, то сходится и исследуемый ряд.

18) Знакопеременные ряды, абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница.

1. Знакочередующиеся ряды.

Ряд, составленный из положительных и отрицательных членов (знакопеременный ряд) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов. Если же знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится, тогда знакопеременный ряд называется условно (неабсолютно) сходящимся.

Рассмотрим далее числовые ряды, любые два соседние члены которых имеют противоположные знаки (знакочередующиеся ряды):

Исследование сходимости знакочередующихся рядов можно начинать с проверки абсолютной сходимости. Если ряд, составленный из абсолютных величин, сходится, то и сам знакопеременный ряд сходится. Если же окажется, что данный знакочередующийся ряд не обладает абсолютной сходимостью, то исследование продолжают с помощью признака Лейбница:

Теорема Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по абсолютной величине и стремятся к нулю при n  , то ряд сходится. Его сумма имеет знак первого члена, абсолютное значение этой суммы не превышает абсолютное значение первого из членов ряда:

Важное для практики значение имеет следствие из теоремы Лейбница: для сходящегося знакочередующегося ряда абсолютная ошибка приближенного равенства (абсолютная величина остатка ряда) не превосходит модуль первого из отброшенных членов: