14)Линейные ду 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных решения ду.

Общий вид:  (11) Здесь  - константы,  - функция. При  уравнение  (12) называется однородным, иначе – неоднородным.

Существует единственное решение уравнения (11). Удовлетворяющее начальным условиям:  где  - числа.

Линейной комбинацией функций  и  называется выражение вида  где С₁, С₂ – произвольные коэффициенты.

Функция  и  называются линейно независимыми, если их линейная комбинация равна нулевой функции только в случае С₁=С₂=0, в противном случае функция  и  называются линейно зависимыми.

Рассмотрим решение однородного уравнения

Все решения здесь обладают структурой линейного пространства: если  ,  - решения (12), то и их линейная комбинация – тоже решение этого уравнения. Чтобы доказать это, достаточно подставить эту линейную комбинацию в уравнение (12).

Теорема. Если  и  - линейно независимые частные решения уравнения (12), то общее решение этого уравнения является линейной комбинацией этих частных решений.

Будем искать решение уравнения (12) в форме , где  - некоторое действительное число. Подставим в, получим

Функция (13) является решением (12). Если  есть корень уравнения:

 которое называется характеристическим уравнением исходного уравнения

Теорема. Пусть уравнение (14) имеет действительные корни Тогда общее решение (12) имеет вид: , где С₁, С₂ – некоторые числа;

Если уравнение имеет кратный корень  , то общее решение имеет вид:

, где С₁, С₂ –некоторые числа;

Если уравнение не имеет действительных корней, то общее решение имеет вид: , где  - некоторые числа.

 Пример. Найти частное решение уравнения  при начальных условиях  Решаем характеристическое уравнение  находим корни 

Общее решение имеет вид:

Найдём такие значения констант, при которых выполняются заданные начальные условия:

Решаем систему:  ; получаем С₁=2; С₂=1. Отсюда 

 

Неоднородное уравнение (11) может быть решено методом вариации произвольных постоянных. Сначала находится общее решение  уравнения (12), имеющего ту же левую часть, что и исходное уравнение (11). Затем решение уравнения (11) находится в виде  , т.е. предполагается, что С₁ и С₂ являются функциями независимой переменной х. При этом функции С₁(х) и С₂(х) могут быть найдены из решения системы

16) Числовой ряд, его сходимость и сумма. Необходимый признак сходимости. Свойства сходящихся рядов. Геометрический и обобщенный гармонический ряды.

1. Понятие числового ряда. Необходимый признак сходимости.

Определение. Числовой ряд (бесконечная сумма) – это пара последовательностей чисел и , таких, что .

Числовой ряд обозначают символом Здесь (n=1, 2, … ) – n-ый член ряда, а сумма конечного числа n первых членов ряда называется n-ой частичной суммой ряда.

Если существует конечный предел последовательности частичных сумм ,

то этот предел называется суммой ряда, а сам ряд называется сходящимся. Если конечный предел частичных сумм не существует, то ряд называется расходящимся.

Необходимый признак сходимости ряда: если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю: . Ряд может сходиться лишь в том случае, когда его общий член при n является бесконечно малой величиной.

Если необходимое условие сходимости ряда не выполнено: , либо предел не

существует, то ряд расходится (достаточный признак расходимости рядов).

Пример 1. Найти общий член ряда Доказать, что этот ряд расходится. Решение. Последовательно рассмотрим члены ряда:

Подмечая закономерность, можно видеть, что общий член ряда выражается формулой

Представим общий член ряда в виде

Ясно, что при n    , поскольку все сомножители - дроби, кроме первых трех, больше 1.

Отсюда следует , необходимое условие сходимости не выполнено, ряд расходится.