2. Основные свойства определенных интегралов

1. .

2. - интеграл от конечного числа алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов.

3. - определенный интеграл =0 при равенстве верхнего и нижнего пределов.

До сих пор мы предполагали, что и . Понятие определенного интеграла распространяется и на случай, когда и (см. рисунок).

4. - при перемене верхнего и нижнего пределов интеграл меняет знак.

5. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

6. если - неравенство можно почленно интегрировать.

7. - модуль от интеграла меньше или равен интегралу от модуля. Этот пункт отражает известную теорему: Модуль суммы меньше или равен суммы модулей.

\Теорема о среднем. Если функция интегрируема на отрезке и для всех выполняется неравенство , то

3. Формула Ньютона-Лейбница

Вычисление определенного интеграла как предела интегральной суммы очень сложно.

Ньютон и Лейбниц доказали теорему, связывающую два важных понятия математического анализа - интеграла и производной. Эта теорема выражается соотношением (формула Ньютона-Лейбница)

Таким образом, для того чтобы вычислить определенный интеграл от непрерывной функции на отрезке , надо найти ее первообразную функцию и взять разность значений этой первообразной на концах отрезка .

Еще раз отметим, что определенный интеграл это число, в то время как неопределенный - это функция. Поэтому совершенно все равно, по какой переменной (букве) ведется интегрирование

Например, вычислить интеграл . Имеем

6)Площадь криволинейной трапеции и криволинейного сектора.

а) Площадь криволинейной трапеции (явное задание функции).

Зададим на отрезке ( и - конечные числа) неотрицательную, непрерывную функцию , график которой изображен на рисунке.

П роизведем разбиение отрезка на - частей точками

Выберем на каждом из полученных частичных отрезков ( ) по произвольной точке . Определим значения функции в этих точках и составим сумму

которую называют интегральной суммой и которая, очевидно, равна сумме площадей заштрихованных прямоугольников, как показано на рисунке.

Предел, к которому стремится интегральная сумма, когда называется определенным интегралом от функции на отрезке

Е сли функция отрицательна внутри отрезка , то интеграл по абсолютному значению равен площади, покрываемой графиком, но имеет отрицательное значение (см. рис.).

Пусть теперь меняет знак на интервале , как показано на рисунке.

В этом случае определенный интеграл будет подсчитываться как

в ) Площадь криволинейного сектора (кривая в полярных координатах) дается формулой

Действительно, согласно рисунку, площадь элементарного сектора представляет собой площадь треугольника, равную половине произведения основания на высоту

Отсюда вытекает основная формула.

7)Длина дуги кривой. Объем тела вращения вокруг оси ох.

8. Вычисление длины дуги плоской кривой.

Длинна кривой линии – это предел длины вписанной в нее ломанной, когда длина наибольшего звена стремится к нулю. Если этот предел существует, то кривая называется спрямляемой.

Теорема. Пусть дана непрерывная, дифференцируемая на функция . Следовательно, ее производная тоже непрерывна, причем . Тогда длина дуги графика функции определяется выражением

Доказательство. Согласно рисунку, . Отсюда длина элементарной дуги будет равна . Длина всей дуги будет равна

Кривая задана параметрически.

В этом случае . Тогда . Следовательно

И, соответственно