Теоретические вопросы
Раздел 1. Интегральное исчисление
1)Первообразная функции и ее связь с неопределенным интегралом. Таблицы интегралов. Замена переменной в неопределенном интеграле.
2)Интегрирование по частям. Интегрирование простейших дробей.
3)Интегрирование простейших иррациональностей.
4)Интегрирование рациональностей, зависящих от простейших тригонометрических функций.
5)Интегральная сумма. Определение определенного интеграла и его геометрический смысл. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем. Формула Ньютона–Лейбница.
6)Площадь криволинейной трапеции и криволинейного сектора.
7)Длина дуги кривой. Объем тела вращения вокруг оси ОХ.
8)Несобственные интегралы.
9)Двойной интеграл, выражение его через повторный интеграл. Геометрический и механический смысл двойного интеграла.
10)Криволинейные интегралы. Формула Грина.
11)Приближенное вычисление интегралов.
Раздел 2. Дифференциальные уравнения
12)Понятие дифференциального уравнения (ДУ) и его порядка. Понятие общего и частного решений. ДУ с разделяющимися переменными.
13)ДУ 1-го порядка в однородных функциях. Линейные ДУ первого порядка. Уравнение Бернулли. Понижение порядка ДУ.
14)Линейные ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами.Метод вариации произвольных постоянных решения ДУ.
15)Численные методы решения ДУ.
Раздел 3. Ряды и гармонический анализ
16) Числовой ряд, его сходимость и сумма. Необходимый признак сходимости. Свойства сходящихся рядов. Геометрический и обобщенный гармонический ряды.
17) Признаки сходимости положительных рядов: сравнения, Даламбера, радикальный и интегральный признаки Коши.
18) Знакопеременные ряды, абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница.
19) Степенные ряды. Область сходимости.
20) Ряды Фурье.
1) Первообразная функции и ее связь с неопределенным интегралом. Таблицы интегралов. Замена переменной в неопределенном интеграле.
1. Понятие первообразной и неопределенного интеграла.
Функция
называется первообразной
функцией для функции
на интервале
,
если
дифференцируема на интервале
и
.
Аналогично можно определить
понятие первообразной и на отрезке
,
но в точках
и
надо рассматривать односторонние
производные.
Теорема.
Если
первообразная для функции
на
,
то
- также первообразная, где
- любое постоянное число.
.
Определение.
Произвольная первообразная для
на
называется неопределенным
интегралом от
функции
и обозначается символом
Знак
называется
интегралом,
- подынтегральное
выражение,
- подынтегральная
функция.
Таким образом, если
одна из первообразных для
,
то
Операцию нахождения неопределенного интеграла называют интегрированием функции . Она противоположна операции дифференцирования.
2. Свойства неопределённых интегралов.
1.
2.
3.
4.
3. Таблица основных неопределенных интегралов.
1.
2.
3.
;
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Отметим, что операция дифференцирования элементарных функций снова приводит к элементарным функциям. Операция интегрирования уже может привести к неэлементарным функциям, т.е. функциям, которые не выражаются через конечное число арифметических операций и суперпозицией элементарных функций.
Например, доказано, что следующие интегралы не интегрируются в элементарных функциях.
- интеграл Пуассона.
- интегралы Френеля.
- интегральный логарифм.
- интегральный косинус.
- интегральный синус.