14) Интегрируемые функции.
Лемма
11.3: Пусть
– замкнутый параллелепипед и функция
ограничена. Если для любого значения
выполняется неравенство:
.
То существует разбиение
параллелепипеда
,
для которого выполняется неравенство:
.
Док-во:
Поскольку для любого значения
выполняется неравенство:
,
существует некоторый замкнутый
параллелепипед
,
содержащий точку
в своей внутренности, такой, что для
него выполняется неравенство:
.
Поскольку
– множество компактное, существует
конечное число параллелепипедов
,
покрывающих множество
.
Пусть
– такое разбиение параллелепипеда
,
каждый сегмент
которого, целиком лежит внутри
.
Очевидно, что:
.
.
Лемма доказана.
Теорема
12.1:
Функция
интегрируема
на
тогда
и только тогда, когда граница множества
имеет меру 0. Док-во: Предположим, что
– некоторая внутренняя точка множества
.
Тогда она входит в
вместе с некоторым замкнутым
параллелепипедом. Тогда, очевидно, что
функция
непрерывна и обращается в единицу. Пусть
теперь точка
принадлежит внешности множества
.
Тогда найдется параллелепипед, который
лежит вне
.
На этом параллелепипеде
принимает значение 0 и, также непрерывна.
Рассмотрим ситуацию, когда
принадлежит границе
.
В этом случае, какой бы параллелепипед,
содержащий точку
мы не взяли, в этом параллелепипеде
найдутся точки как принадлежащие
,
так и не принадлежащие. Очевидно, что в
этом случае
является точкой разрыва функции
.
Таким образом, множество точек разрыва
совпадает с границей
.
Отсюда следует утверждение теоремы.
Теорема доказана.
15) Свойства кратного интеграла.
Определение кратного интеграла совершенно аналогично определению определенного интеграла Римана, поэтому его свойства повторяют свойства интеграла по отрезку.
Теорема
: Пусть
–
ограниченное, измеримое по Жордану
множество, и
– интегрируемые на
функции, для каждого
удовлетворяющие неравенству:
.
Тогда:
.
Док-во:
Предположим сначала, что
–замкнутый
параллелепипед, и
– произвольное его разбиение. Для любого
сегмента
этого разбиения, очевидно, выполняется
неравенство:
.
Поэтому
,
откуда:
.
Поскольку последнее неравенство
выполнено для любого разбиения
,
то:
.
Тем самым, неравенство 8 установлено
для случая, когда
–замкнутый
параллелепипед. Пусть теперь
– ограниченное, измеримое по Жордану
множество, расположенное в замкнутом
параллелепипеде
.
Доопределим функции
тождественным нулем на множестве
.
Очевидно, функции
интегрируемы на
,
и для каждого
выполняется неравенство:
.
Следовательно,
.
Теорема доказана.
Теорема
о замене переменной в кратном интеграле:
Пусть
-открытое
множество, и
–такая взаимно однозначная функция,
что:
.
Тогда:
,
для любой интегрируемой функции
.
16) Теорема Фубини.
Теорема
Фубини : Пусть
и
–замкнутые
параллелепипеды, и пусть функция
интегрируема. Также, пусть функция
определена по правилу:
.
И далее, определим функции:
;
.
Тогда функции
и
интегрируемы на параллелепипеде
и имеют место равенства:
;
.
Док-во:
Рассмотрим
– разбиение параллелепипеда
,
с сегментами
и
– разбиение
с
сегментами
.
Разбиения
и
,
совместно, порождают разбиение
параллелепипеда
.
Сегментами этого разбиения являются
параллелепипеды вида:
.
Далее, имеем:
;
Теперь заметим, что для любого
верно:
.
Поэтому:
.
Приведенное неравенство справедливо
для любого
.
Отсюда получается:
Таким образом:
.
Данное неравенство может быть продолжено:
.
Последнее неравенство доказывается
как и первое. Поскольку функция
интегрируема на
,
супремум ее нижних сумм Дарбу будет
равен:
;
Отсюда получается:
.
Таким образом, получается что функция
интегрируема и верно равенство:
.
Равенство 13.6 установлено. Для функции
получаем аналогичный результат:
.
Таким образом,
– интегрируема.
Теорема доказана.