9) Обратная функция.
Теорема
об обратной функции (7.2):
Пусть функция
непрерывно дифференцируема на некотором
открытом множестве содержащем точку
и пусть при этом ее производная в этой
точке равна нулю. Тогда существует
множество
,
содержащее точку
,
такое, что функция
,
действующая из
в
взаимно однозначна и имеет обратную
функцию
,
дифференцируемую на
.
При этом выполняется равенство:
.
Док-во:
Обозначим через
линейное отображение:
,
совпадающее с дифференциалом функции
.
Заметим, что если теорема верна для
функции
,
то она верна и для функции
и при этом:
.Воспользуемся
тем, что функция
дифференцируема в точке
.
.
Отсюда вытекает неравенство:
.
Поскольку
то мы можем выбрать такой параллелепипед
,
содержащий точку
в своей внутренности, чтобы:
.
Из этих рассуждений следует, что в этом
параллелепипеде выполняется неравенство:
;
Кроме того, мы можем считать, что в
параллелепипеде
выполняется неравенство:
;
;
Заметим, что поскольку
– единичная матрица,
.
Значит последнее соотношение можно
переписать в виде:
;
Для функции
мы получаем неравенство:
.
Из этого получаем:
).
Рассмотрим множество
всех точек
,
таких, что
:
.
Заметим, что если
то выполняется неравенство:
.
Теперь докажем, что для каждого
существует единственная точка
такая, что:
.
С этой целью рассмотрим функцию:
.
Докажи дифференцируемость функции
на множестве
.
Для этого воспользуемся дифференцируемостью
функции
на множестве
.Дадим
приращение:
.
Тогда:
).
Здесь,
– линейное отображение. Рассмотрим
обратное линейное отображение
.
Применим его к обеим частям равенства
8.3. При этом:
;
Учтем, что:
.
Получим:
).
Равенство 8.4 означает дифференцируемость
функции
в точке
.
А поскольку
– произвольная точка пространства
,
то
– произвольная точка пространства
.
Остается заметить, что функция
совпадает с
– линейным отображением, обратным
отображению
.
Поэтому матрица
совпадает с матрицей, обратной матрице
отображения
:
.
Теорема доказана.
10) Неявные функции.
Рассмотрим
функцию
,
определенную равенством:
.
И пусть
– точка на плоскости
,
удовлетворяющая равенству:
.
При условии:
существуют интервалы
,
обладающие тем свойством, что для каждого
существует единственное значение
такое, что
.
Тем самым получена однозначная функция
,
определенная равенством:
,
такая, что:
.
Если
то функция имеет вид:
.
Такая функции дифференцируемая на
множестве
и называется неявной. Теорема о неявной
функции (9.1): Пусть функция
непрерывно дифференцируема на некотором
открытом множестве, содержащем точку
и
.
Если матрица
невырожденная (
),
то существуют открытые множества
и
, такие, что для каждого значения
существует единственное значение
,
для которого выполняется равенство:
.
При этом функция
– дифференцируема.
Док-во:
Определим функцию
следующим равенством:
.
Заметим, что:
.
.
Функция
удовлетворяет условиям теоремы об
обратной функции. По этой теореме,
существует открытое множество, содержащее
точку
,
а также открытое множество, содержащее
точку
,
причем множество
можно выбрать в виде:
, таким, что функция
имеет дифференцируемую обратную функцию:
.
При этом очевидно, что:
потому что такой же вид имеет прямая
функция. Далее, определим функцию
.
Заметим:
.
Далее, имеем:
.
Получено равенство:
.
Дифференцируемость функции
следует из теоремы об обратной функции.
Теорема доказана.