2. Элементы математической статистики

2.1. Свойства случайных величин

Случайными величинами называются величины, которые в результате опыта проведенного при одних и тех же условиях могут принимать различные числовые значения. Случайные погрешности измерений являются одним из примеров случайных величин.

Случайная величина называется дискретной, если она может принимать только определенные числовые значения. Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать непрерывный ряд значений.

Проведем прямые многократные равноточные измерения одной и той же физической величины . Если измеряемая величина непрерывна, то в результате достаточно большого числа измерений получим ряд значений , ,…, , причем истинное значение измеряемой величины x₀ неизвестно.

А , , ..., – количество измерений, попавших, соответственно в первый, второй, и т. д. интервал длиной . Относительная частота попадания результатов измерений в какой-либо интервал ( , ) равна .

При большом числе измерений n относительную частоту того, что величина может принимать значения в интервале от до , называют вероятностью , где величина – представляет вероятность, приходящуюся на единичный интервал, причем она зависит от значения , т. е. является некоторой функцией и называется плотностью вероятности или плотностью распределения.

Для любого бесконечно малого интервала вероятность того, что в результате измерения величины x получится значение, при надлежащее интервалу от до , зависит от плотности вероятности

Вероятность попадания результата измерения величины в интервал от до численно равна площади под кривой функции плотности вероятности на этом интервале, которая вычисляется путем интегрирования функции плотности вероятности

Для данного зафиксированного значения xi, чем больше длина интервала , тем больше соответствующая ему вероятность.

При бесконечно малом интервале , т.е. при зафиксированном конкретном значении случайной величины, площадь обратится в ноль. Это значит, что вероятность получить при измерении конкретное фиксированное значение непрерывной случайной величины равна нулю. То есть для непрерывной случайной величины можно указать лишь интервал ее возможных значений с указанием вероятности ее пребывания в этом интервале. Это означает, что из всей серии результатов измерений , ,…, невозможно указать истинное значение величины, а лишь интервал близких к нему возможных значений. Также невозможно указать точное значение допущенной при этом погрешности, а лишь интервал возможных значений погрешности с соответствующей вероятностью.

2. 2. Основные статистические характеристики непрерывной случайной величины

Поведение непрерывной случайной величины определяется функцией плотности вероятности для распределения, которому подчиняется данная величина. Все статистические характеристики случайной величины определяются на основе функции плотности вероятности .

1. Среднее значение (математическое ожидание) непрерывной случайной величины определяется по формуле:

2. Дисперсия характеризует степень рассеяния значений случайной величины относительно среднего значения. Дисперсия непрерывной случайной величины определяется как:

3. Средним квадратичным отклонением называется квадратный корень из дисперсии σ²:

Среднее квадратичное отклонение характеризует абсолютное среднее отклонение случайной величины от среднего значения.

4. Модой называется значение случайной величины, которое встречается чаще всего, т.е. имеет максимальную вероятность. Для непрерывной случайной величины мода совпадает с максимумом функции плотности вероятности .

Таким образом, если известен аналитический вид функции плотности вероятности случайной величины, то такие величины, как среднее значение, среднеквадратичное отклонение и наиболее вероятное значение могут быть легко подсчитаны.