21 20. Полная проблема собственных значений матриц
Ссылка http://alnam.ru/book_bcm.php?id=76
21. Свойства собственных значений матриц
http://mathhelpplanet.com/static.php?p=sobstvennye-vektory-i-sobstvennye-znacheniya-matritsy
Определение: ненулевой вектор 
,
который при умножении на некоторую
квадратную матрицу 
превращается
в самого же себя с числовым коэффициентом 
,
называется собственным вектором матрицы
.
Число
называют собственным
значением или собственным числом данной
матрицы.
Свойства собственных векторов
1. Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, линейно независимы.
2. Ненулевая линейная комбинация собственных векторов, соответствующих одному собственному значению, является собственным вектором, соответствующим тому же собственному значению.
3. Пусть 
—
присоединенная матрица для характеристической
матрицы 
.
Если 
—
собственное значение матрицы 
,
то любой ненулевой столбец матрицы
является
собственным вектором, соответствующим
собственному значению
.
Замечания 7.5
1. По основной теореме алгебры характеристическое уравнение имеет п в общем случае комплексных корней (с учетом их кратностей). Поэтому собственные значения и собственные векторы имеются у любой квадратной матрицы. Причем собственные значения матрицы определяются однозначно (с учетом их кратности), а собственные векторы — неоднозначно.
2. Чтобы
из множества собственных векторов
выделить максимальную линейно независимую
систему собственных векторов, нужно
для всех раз личных собственных
значений 
записать
одну за другой системы линейно независимых
собственных векторов, в частности, одну
за другой фундаментальные
системы решений однородных систем
Полученная система собственных векторов будет линейно независимой в силу свойства 1 собственных векторов.
3. Совокупность всех собственных значений матрицы (с учетом их кратностей) называют ее спектром.
4. Спектр матрицы называется простым, если собственные значения матрицы попарно различные (все корни характеристического уравнения простые).
5. Для
простого корня 
характеристического
уравнения соответствующий собственный
вектор можно найти, раскладывая
определитель матрицы 
по
одной из строк. Тогда ненулевой вектор,
компоненты которого равны алгебраическим
дополнениям элементов одной из
строк матрицы
,
является собственным вектором.
22. Частичная проблема собственных значений. Нахождение наибольшего собственного значения симметричной матрицы
http://www.bestreferat.ru/referat-95502.html
Определение наибольшего собственного значения методом итераций
На рис. 1 показана блок-схема простейшего итерационного метода отыскания наибольшего собственного значения системы
AХ = lХ.
Процедура начинается с пробного нормированного вектора X(0). Этот вектор умножается слева на матрицу A, и результат приравнивается произведению постоянной (собственное значение) и нормированному вектору X(0).. Если вектор X(0) совпадает с вектором X(0), то счет прекращается. В противном случае новый нормированный вектор используется в качестве исходного и вся процедура повторяется. Если процесс сходится, то постоянный множитель соответствует истинному наибольшему собственному значению, а нормированный вектор — соответствующему собственному вектору. Быстрота сходимости этого итерационного процесса зависит от того насколько удачно выбран начальный вектор. Если он близок к истинному собственному вектору, то итерации сходятся очень быстро. На быстроту сходимости влияет также и отношение величин двух наибольших собственных значений. Если это отношение близко к единице, то сходимость оказывается медленной.
|
Рис. 1. Блок-схема алгоритма иитерационного метода решения задач на собственные значения.