65.Функциональная полнота булевых функций

Функциональная полнота множества логических операций или булевых функций — это возможность выразить все возможные значения таблиц истинности с помощью формул из элементов этого множества. Математическая логика обычно использует такой набор операций: конъюнкция ( ), дизъюнкция ( ), отрицание ( ), импликация ( ) и эквиваленция ( ). Это множество операций является функционально полным. Но оно не является минимальной функционально полной системой, поскольку:

Таким образом   также является функционально полной системой. Но   также может быть выражено (в соответствии с законом де Моргана) как:

 также может быть определена через   подобным образом.

Также   может быть выражена через   следующим образом:

Итак   и одна из   является минимальной функционально полной системой.

66. Эквивалентные преобразования. Сокращенные днф. Простая импликанта. Тупиковая днф.

Эквивалентные преобразования – это такие преобразования, использующие эквивалентные соотношения и правило замены. Эквивалентные преобразования являются средством доказательства эквивалентности формул, как правило, более эффективным, чем их вычисление на наборах значений переменных.

1. Свойства констант:

2. Свойство двойного отрицания:

 3. Идемпотентность (отсутствие степеней и множителей):

 

а) х Ù х = х; б) х Ú х = х. 

4. Закон противоречия:

х Ù`х = 0. 

5. Закон «исключенного третьего»:

х Ú`х = 1. 

6. Ассоциативность:

а) х₁ Ù (х₂ Ù х₃) = (х₁ Ù х₂) Ù х₃; б) х₁ Ú (х₂ Ú х₃) = (х₁ Ú х₂) Ú х₃.

7. Коммутативность:

а) х₁ Ù х₂ = х₂ Ù х₁; б) х₁ Ú х₂ = х₂ Ú х₁.

8. Дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции:

х₁ Ù (х₂ Ú х₃) = (х₁ Ù х₂) Ú (х₁ Ù х₃). 

9. Дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции:

 

х₁ Ú (х₂ Ù х₃) = (х₁ Ú х₂) Ù (х₁ Ú х₃).

10. Правила де Моргана:

 

11.

12.

13.

Определение. Говорят, что булева функция имеет сокращенную дизъюнктивную

нормальную форму, если она равна дизъюнкции всех своих простых импликант.

Сокращенная форма характеризуется тем, что ее члены самые короткие, из

нее уже нельзя

Определение. Булева функция g(x) называется импликантой булевой

функции f(x), если для любого набора аргументов, на которых

g(x)=1 , f(x) также равна единице.

P.S.: Простейшими примерами импликант могут служить элементарные

конъюнкции, входящие в ДНФ данной функции. Произвольная дизъюнкция

этих термов также является импликантой функции.

Определение. Простой (первичной) импликантой булевой функции называется

такая импликанта функции, у которой никакая ее собственная часть уже не является

импликантой этой функции.

P.S.: Под собственной частью импликанты понимается новая импликанта, полученная из исходной, путем вычеркивания произвольного числа букв.

Определение. Если из сокращенной формы исключить все возможные члены, не

нарушая определения функции, то получится тупиковая дизъюнктивная

нормальная форма.

Тупиковых форм у булевой функции может быть несколько.

Определение. Тупиковая форма, содержащая наименьшее число членов, называется

кратчайшей дизъюнктивной нормальной формой.

P.S.: Кратчайшая и тупиковые формы в общем случае не совпадают.