Развитие представлений о случайности и вероятности в детском возрасте1 [1976]

Б. Инельдер

Введение

Интерес физиков и математиков к тому, как представлены в психологии развития некоторые фундаментальные для этих дисциплин понятия, одно­временно вдохновляет и обязывает. Эйнштейн был первым, кто предло­жил Пиаже проанализировать отношения между представлениями о скорости и времени у детей. Теперь этим особенно настойчиво занимается Розенфельд в Институте Нильса Бора в Копенгагене, своими оригиналь­ными озарениями в теории и истории физики, побуждая Женевскую шко­лу к исследованиям в области генетической эпистемологии причинности. Приятно сознавать, что в настоящее время сохраняется интерес ученых к проведенному нами исследованию представлений о вероятностных собы­тиях у детей. Эта работа была выполнена Пиаже и мною с группой со­трудников некоторое время назад [Piaget, Inhelder, 1951]. Если бы нам пришлось повторить это исследование, располагая всем имеющимся сегодня знанием в области познавательного развития, мы могли бы исполь­зовать более совершенные методы и опирались бы на более глубокое по­нимание умственного развития ребенка. В любом случае у специалиста по теории вероятности возникает вопрос к нашему исследованию развития понятия случайности: имеется ли у вполне обычного человека (т.е. не уче­ного и не психически больного) некое интуитивное представление о веро­ятности, подобное тому, которое имеется в отношении чисел натурально­го ряда.

На языке эпистемологии эту проблему можно сформулировать следу­ющим образом: как формируются понятия случайности и вероятности? Могут ли они возникать в результате простого подсчета событий в ходе повседневных наблюдений, т.е., по сути дела, чисто эмпирически? Снача­ла напрашивается ответ, что это именно так. В самом деле, большинство наших действий заключает в себе непосредственную оценку более или менее вероятного характера ожидаемых событий или событий, которых

262

мы, возможно, опасаемся. Наблюдение за тем, как взрослый человек пе­реходит дорогу, показывает, что он ведет себя так, как будто непрерывно оценивает возможность столкновения с учетом частоты и скорости дви­жения транспорта; в отношении маленьких детей возникает впечатление, что они практически адаптированы к этой ситуации, хотя психологиче­ские механизмы, обеспечивающие такую адаптацию, все еще неизвест­ны. В повседневной жизни мы постоянно имеем дело с тесным переплете­нием причин и следствий различных событий. С объективной точки зре­ния, повседневная жизнь состоит в основном из сложно детерминирован­ных событий и ситуаций: причудливая траектория падающего листа – гораздо более типичное явление, чем прямолинейное движение. В субъ­ективном же плане наша интерпретация этих явлений может отличаться от объективного положения дел как в сторону упрощенного понимания стоящих за ними причин, так и в сторону переоценки их сложности. В те­чение всей жизни мы вынуждены действовать и принимать решения, учи­тывая известную из опыта частоту повторяемости тех или иных событий. Точно так же и для маленького ребенка жизнь полна неожиданностей, опасений, причудливых перемен.

Необходимо, однако, различать уровень поведения, адаптированного с практической точки зрения, и наличие когнитивных систем, необходи­мых для понимания соответствующих процессов. Это различие сущест­венно не только для поведения в вероятностных ситуациях, но и в других отношениях – для понимания развития познания. Современные иссле­дования Пиаже и его школы в области практического интеллекта у детей подтверждают существование очевидного разрыва между двумя уров­нями развития: элементарным уровнем действия в собственном смысле слова и возрастающим уровнем осознания этого действия, т.е. его пониманием. Один из наших сотрудников попросил однажды логиков, физиков и математиков пройтись на четвереньках, а затем воспроизвести дви­жения, которые они при этом совершали. Оказалось, что в то время как весьма именитые физики вполне преуспели в этом задании, не менее именитые логики и математики с ним не справились.

Обозначив предмет обсуждения, мы можем сформулировать гипотезу нашего исследования: суждения детей о частоте, случайности и вероятно­сти событий расходятся с доступными им формами практического поведе­ния, осуществляемого без осознания его на понятийном уровне, такие суждения не являются прямым отражением или «дубликатом» наблюдае­мых событий. В качестве основы им необходимо формирование логи­ко-математических операций, которые затем в отношении физических событий будут выполнять функции причинного объяснения. Если эта ги­потеза окажется верной, то можно полагать, что понимание вероятности и случайности появляется в познавательном развитии ребенка достаточ­но поздно.

263

Общий вывод, вытекающий из наших работ, проведенных в Женеве, показывает, что операции мышления (логические, математические, про­странственные, временные) берут свое начало в сенсомоторной активно­сти ребенка, а завершают свое развитие в виде систем замкнутого типа. В психологии познания мы рассматриваем систему операций как замкну­тую, если результаты этих операций (по отдельности или в комбинации) остаются элементами исходной системы. Такие системы, как показал Пи­аже, изоморфны сначала полурешеткам, а затем в последующем процес­се развития – решеткам, группировкам и элементам Булевой алгебры. Огромное значение этого созидательного процесса заключено в возрас­тании обратимости интериоризированных действий, которые через меха­низмы саморегуляции могут компенсировать текущие рассогласования или нарушения. Эти рассогласования вытекают из постоянного столкно­вения схем интериоризированных действий субъекта с сопротивлением со стороны физической реальности. Процесс прогрессирующего станов­ления структур достигает двух уровней равновесия, которое Пиаже опре­деляет как максимальную устойчивость с низкой энтропией. Первый уро­вень равновесия обусловлен структурами так называемых конкретных операций. Мы называем их «конкретными» потому, что их выполнение ограничено предметами, фактически представленными в поле действия субъекта. Эти операции можно обнаружить в логической классификации, системах счисления и т.д. В нашей культуре конкретные операции форми­руются к семилетнему возрасту. Второй уровень образуют структуры формальной логики, такие, например, как пропозициональная логика, предполагающая существование комбинаторных систем.

Недавние исследования женевского эпистемологического центра по­казали, что причинные объяснения развиваются в тесной связи с опера­циями мышления и предполагают приложение операций субъекта к раз­ным сторонам физической реальности. Однако вопрос о том, как по мере развития меняется восприятие и понимание ребенком того, что на пер­вый взгляд кажется противоречащим физической причинности (включая феномены случайности), остается открытым. Эта проблема и стала пред­метом исследования, о котором я собираюсь сегодня рассказать:

Интуитивные представления о процессе смешивания дискретных элементов

Проблема

Можно полагать, что представление о процессе смешивания (перемеши­вания) дискретных элементов (все более необратимом) является отправ­ной точкой для построения наивных интуитивных представлений детей

264

о случайных совокупностях. Смешивание элементов может, по-видимому, служить хорошей иллюстрацией определения, данного Курно понятию случайных совокупностей как «взаимопроникающих (interfering) кау­зальных рядов, в своём исходном положении независимых друг от друга». С точки зрения психологии развития проблема в данном случае состоит в том, чтобы установить, что думает ребенок, наблюдая за процессом сме­шивания элементов: считает ли он, что в результате получится случайная смесь элементов или, с другой стороны, что элементы связаны между со­бой некими невидимыми силами. Другими словами, существуют ли интуи­тивные представления о смешивании (служащие показателем формиро­вания представлений о случайных совокупностях) на ранней стадии раз­вития ребенка или же они возникают в ходе особого генетического про­цесса, этапы которого мы должны установить?

Методика

Ребенку показывают открытую прямоугольную коробку (коробку из-под сигар), укрепленную на оси специального устройства, позволяющего на­клонять ее вперед и назад. Из этого положения коробку наклоняют в на­правлении ее коротких сторон, вдоль которых выложены в линию 8 крас­ных шариков и 8 белых, отделенных друг от друга невысокими перегород­ками. После наклона коробку каждый раз возвращают в исходное поло­жение; при этом шарики сначала перекатываются на противоположную (короткую) сторону коробки, а затем возвращаются в начальное положе­ние после некоторого, числа возможных перестановок. Постепенное пе­ремешивание происходит таким образом: сначала 2 или 3 красных шари­ка присоединяются к белым и наоборот, затем их количество медленно растет. В исходном состоянии (перед наклоном коробки) ребенка просят предсказать, в каком порядке шарики вернутся на исходные позиции, останутся ли шарики каждого цвета по разные стороны коробки и, если нет, то, каким образом они перемешаются. Затем коробку наклоняют первый раз, и ребенок отмечает изменение положения нескольких шари­ков. После этого его просят предсказать результат второго наклона, который сразу вслед за этим и производят. Далее ребенка просят предсказать результат большого числа таких же наклонов, чтобы установить, ожидает ли он, что перемешивание шариков будет усиливаться по мере качания коробки вперед и назад (т.е. в результате того, что красные и белые ша­рики постепенно меняются местами) или что шарики вернутся на свои исходные позиции. В дополнение ребенка просят нарисовать, как, с его точки зрения, выглядит конечный результат опыта, а также ведущие к нему стадии процесса перемешивания. Эти рисунки были весьма пока­зательны.

265

Стадии развития

На первой стадии – между 4 и 7 годами – ребенок не предвидит никако­го возрастания степени перемешивания шариков разного цвета, он также не обнаруживает никаких признаков интуитивного понимания случайного образования наборов из шариков. В его поведении весьма заметно прояв­ляется противоречие между наблюдаемым им нарастающим перемешива­нием шариков и неспособностью его мышления принять такое положе­ние. Ребенок не может не видеть перемешивания шариков, но он отказы­вается признать случайный характер перемешивания. Прежде всего, он предполагает, что шарики вернутся на исходные позиции, т.е. что имеет место своего рода «несмешиваемость» шариков разного цвета. Он дума­ет, что шарики «вернутся на свои собственные места», и поэтому рас­сматривает факт их перемешивания как что-то аномальное. Таким обра­зом, в исходном положении ребенок предсказывает прямой возврат ша­риков на исходные позиции. Те немногие дети, которые говорят, что ша­рики будут перемешиваться, до конца в этом не убеждены, и мысль о воз­вращении шариков на исходные позиции у них все же, по-видимому, до­минирует. Когда же их спрашивают о дальнейших шагах процесса пере­мешивания, эти дети высказывают мнение, что «больше шарики не будут перемешиваться, все останется по-прежнему». Некоторые дети ожидают движения шариков вперед-назад, при котором красные шарики будут ме­няться местами с белыми до тех пор, пока «шарики не вернутся назад – на свои места». Перемешивание интерпретируется ими как результат временного беспорядка, при котором элементы пытаются вести себя сво­бодно. Та внешняя обратимость, которую дети приписывают процессу пе­ремешивания, на самом деле является прямой противоположностью опе­рациональной обратимости.

Вторая стадия характеризуется появлением начальных интуитивных представлений о случайных совокупностях, которые можно заметить в проявлениях детского скептицизма: «Нельзя узнать, куда покатится ша­рик: каждый шарик может покатиться и в ту и в другую сторону». Ребенок предполагает, что «шарики будут понемножку смешиваться, они перека­тятся на другое место», и думает, что правильный обмен шариками при движении коробки вперед и назад неправдоподобен: «Вряд ли это прои­зойдет». Здесь уже ребенок начинает понимать случайный характер тра­ектории движения шариков. Формирующееся представление о переме­шивании носит, таким образом, весьма смутный характер, ему не сопут­ствует четкий анализ. Но поскольку ребенок не может представить, что произойдет в результате многочисленных покачиваний коробки и изме­нений траекторий движения шариков из-за их столкновений, а также не понимает сути перестановок, у него возникают понятные затруднения

266

при определении того, каким будет в итоге положение шариков в экспе­рименте.

На третьей стадии развития положение шариков после перемешива­ния представляется на основе системы обмена: первоначально ребенок прогнозирует путь каждого шарика в соответствии с «правильной» моде­лью движения, при которой шарики будто бы никогда не сталкиваются. Однако впоследствии ребенок рассматривает конечную комбинацию как случайный результат некоторого Числа незапрограммированных столкно­вений. В отличие от этого подросток уже не приписывает перемешива­нию шариков непредсказуемого и непостижимого характера, а переводит это явление в мыслительные операции, которые, впрочем, вовсе не обя­зательно осознаются. Перемешивание понимается, наконец, как про­цесс, происходящий благодаря взаимопроникновению независимых при­чинно-следственных последовательностей событий, а такое понимание уже соответствует приведенному выше определению Курно.

Представления о случайном распределении и экспериментальном методе

Проблема

Чтобы проанализировать формирование понятия о случайном распреде­лении применительно к какой-либо конкретной ситуации, мы должны вы­яснить, как ребенок приобретает способность отличать то, что происхо­дит случайно, от того, что можно установить и предсказать заранее – просто в силу действия соответствующих законов. Мы выбрали ситуа­цию, когда элементы распределяются равномерно или группируются по причинам, неизвестным ребенку, поскольку именно способность уловить различие между тем, что происходит случайно, а что нет, и образует одну из наиболее важных составляющих интуитивного представления о веро­ятности.

Методика

Эксперимент был проведен в наиболее простой форме: в центральное от­верстие медного диска помещалась стрелка, затем ее положение фикси­ровалось на доске, разделенной на равные сегменты (на краю диска была сделана специальная отметка). Каждый сегмент на доске был окрашен в свой цвет. Диск приводился во вращение, и ребенка просили ответить на несколько вопросов, например: «Как ты думаешь, где остановится диск? На каком цвете остановится стрелка? Может ли стрелка остановиться на другом, цвете?» Каждый раз, когда диск останавливался, ребенок должен

267

был отмечать спичкой место ее остановки. «Если мы будем вращать диск еще и еще: 10 раз, 20 раз, что будет со спичками? Будет ли их на всех сег­ментах поровну или, может быть, на одном будет много, а на других – мало?» Первая часть эксперимента была направлена на исследование хода развития у детей понятия о случайном распределении. Как только ре­бенок замечал случайный характер распределения, экспериментатор ме­нял условия опыта: с помощью магнитов, прикрепленных к железному бруску на дне диска, он устанавливал жесткую связь между местом оста­новки стрелки и сегментом диска. На каждом сегменте располагались следующие предметы: коробка спичек, два (разного цвета) грузика весом по 20 г (а, а'), два грузика весом по 50 г, внутри которых находились маг­ниты (b, b'), также два грузика весом по 50 г без магнита (с, с') и два гру­зика весом по 100 г {d, d’). Мы хотели определить, какова будет реакция ребенка. Будет ли он поражен этим невероятным явлением? С помощью каких умственных операций исключающей дизъюнкции будет подтверж­дена или опровергнута эта гипотеза?

Стадии развития

На первой стадии детям была недоступна ни сама идея случайности ка­ких-либо событий и вероятностном характере их распределения, ни мысль о постоянном и неслучайном соотношении событий. Они считали, что вполне могли предвидеть и объяснить весь ход эксперимента. Если они ошибались, то думали, что это происходило из-за каприза природы: «Диск остановился, он немного устал». На протяжении целого ряда лет ребенок пребывал в убеждении, что все дело в том, что стрелка притяги­вается к сегменту определенного цвета, а сегментам других цветов просто «не везет». Нет сомнений, что, по мысли ребенка, в основе физических явлений лежит нечто вроде моральных норм. Невозможность постижения ребенком как случайных, так и закономерных процессов корреспондиру­ет, с точки зрения логики, его неспособности понять дизъюнкцию: «либо А, либо В». На этой стадии все воспринимается как смесь каприза и мо­ральной детерминации. По этой причине ребенок становится непроница­емым для любого наглядного опыта, который противоречит его уровню понимания. Некоторые дети приписывали остановку диска воздействию веса коробки. Совершенно бесполезно было показывать им, что диск ни­когда не останавливается напротив наиболее тяжелых коробок. В таком случае ребенок просто отвечал, что «притягивает средний вес». При этом он даже не пытался проверить вес двух одинаковых коробок, лишь одна из которых останавливала диск.

На второй стадии можно наблюдать первые признаки осознания по­нятия случайного распределения и начало постепенного установления

268

взаимосвязи между последовательными случайными событиями. Ребе­нок высказывает некоторые предположения и сомнения, начиная отли­чать определенность от возможности. На вопрос: «Можешь ли ты сказать, где остановится диск?», – он отвечает: «Он вертится, скорость все меньше и меньше, но нельзя сказать, где он соберется остановиться». Тем не менее ребенок полагает, что диск будет каждый раз останавлива­ться на секторах различного цвета: «Так более справедливо», что означа­ет правильнее и лучше, «поскольку он не может каждый раз останавли­ваться на одном и том же месте». Но он ничего не говорит о том, что по мере увеличения числа испытаний выпадение стрелки становится все бо­лее регулярным, а на вопрос: «Если играть много раз, то может ли так случиться, что диск остановится на секторе каждого цвета?», – ребенок отвечает: «Я не знаю наперед, надо посмотреть». Несмотря на это, он ду­мает, «что более правильно (и в моральном, и в статистическом смысле), когда вы вращаете диск не так часто», и добавляет: «Я не могу это объяс­нить, но понимаю хорошо». В итоге складывается впечатление, что ребе­нок может предвидеть возможные уравновешивания последовательных испытаний, но только при небольшом их числе, – один женевский физик назвал это «законом малых и больших чисел». Ребенок явно удивлен по­стоянными остановками стрелки у магнита и думает, что здесь «что-то не так, это обман». Хотя, с другой стороны, он еще не готов систематически проследить за всеми возможными факторами, вызывающими постоянные остановки. Последующие работы в области индуктивных процессов и стратегий экспериментирования показали, что такие действия предпола­гают наличие у ребенка формально-логических операций.

На третьей стадии развития подросток открывает для себя формаль­ные операции исключающей дизъюнкции и начинает размышлять над со­отношением частоты событий в больших рядах последовательных испы­таний. Он говорит, например: «Чем больше испытаний, тем больше шан­сов, что распределение результатов будет регулярным; чем больше попы­ток, тем больше все уравнивается, потому что стрелка останавливается то здесь, то там, и после определенного количества повторений все ста­новится одинаковым». В основе этих, все еще неуклюжих, объяснений лежит растущее понимание факта уравновешивания между сериями по­следовательных событий, В то же время подросток способен осуществить цикл формальных операций исключающей дизъюнкции и сказать по по­воду этого эксперимента: «Почему диск останавливается на одном и том же месте? Если его ничто не тормозит, то он должен вроде бы останови­ться в другом месте. Давайте посмотрим. Он останавливается из-за коро­бок или чего-нибудь еще. Я сниму коробки, и диск остановится в другом месте. Если это случится только один раз, то это ничего не значит, один раз может произойти и случайно». Он повторяет опыт. «Без коробок он

269

не останавливается, значит, в коробках есть что-то такое, что заставляет его останавливаться. Посмотрю, одинаковы ли они». Он убирает все, кроме b и b'. «Вот так, должно быть, все зависит от веса коробок». Затем он сравнивает b u b' с и с'. «Эти два грузика останавливают диск, другие два равны им по весу, но они не останавливают диск, значит, дело в чем-то другом» и т.д. Подчеркнем, что даже на третьей стадии у ребенка отсутствует само представление об ожидаемой частоте выпадения опре­деленных результатов – представление, которое обычно возникает в итоге продолжительного ряда испытаний. На этом примере мы видим, что развитие суждений о вероятности событий тесно связано с прогрессом формально-операционального мышления, которое лежит в основе экспе­риментального подхода, предполагающего систематическое варьирова­ние различных факторов.

Случайность и подстроенное «чудо» в игре «Орел или решка»

Проблема

После исследования развития понятия случайного распределения на при­мере физических явлений представляется не менее важным проанализи­ровать это понятие также в контексте хорошо знакомой детям игры. Как известно, игры, основанные на случайном выборе элементов, образую­щих некоторое множество, легли в основу представлений о вероятности Паскаля, высказанных им задолго до их открытия в области физики. Ко­нечно, игры такого рода («Орел или решка» или «Вытягивание шариков из мешочка») имеют определенный физический аспект, но гораздо важ­нее то, что в них игрок сам совершает действие выбора того или иного элемента (а не просто наблюдает за случайным распределением исходов). Именно этот процесс выбора и придает особую эмоциональную притя­гательность играм «со случаем», а также служит основой для математи­ческого расчета вероятности исходов. Как показали женевские исследо­вания в области овладения детьми арифметикой и геометрией, благодаря особому процессу абстракции математические понятия связаны не только с объектами, но и в первую очередь с координацией действий с объекта­ми. Поэтому следует, ожидать, что чем раньше субъект начнет активно вмешиваться в ход случайного события, тем больше вероятность более раннего формирования у негаданного понятия. Чтобы лучше понять, ка­ковы представления о случайных событиях на операциональном уровне развития, мы проделали в ходе игры фокус, приводящий к своего рода «чуду» – многократному выпадению подряд одного элемента из двух воз­можных, вместо чередования в случайном порядке обоих элементов, ко­торое обычно происходит в игре.

270

В самом деле, с точки зрения субъекта случайность есть нечто, проти­воположное чуду. Понимание сути случайного распределения предпола­гает, что ребенок (как и взрослый) признает крайне низкой вероятность многократного выпадения подряд только орлов или только решек. Учиты­вая это, в ходе нашей игры мы время от времени устраивали специальный фокус, чтобы установить, будут ли дети разных возрастов понимать иск­лючительно низкую вероятность такого события, удивятся ли они столь невероятному явлению – своего рода «чуду» – или даже поймут, что на самом деле оно невозможно, и попытаются раскрыть, этот фокус.

Метод

Один из наших опытов проходил следующим образом. В игре использо­вались примерно 20 белых фишек, на одной стороне которых был нарисо­ван крест, а на другой – круг. В процессе игры по типу «орел или решка» ребенка просили пронаблюдать за 20 бросками. Затем без ведома ребен­ка фишки подменялись другими – с крестом на обеих сторонах. Экспе­римент повторялся, и если ребенок сам не мог раскрыть фокус, ему его показывали. Затем проводился следующий эксперимент, в котором де­ти не знали, что на обеих сторонах фишек нарисованы кресты. Фиш­ки бросали одну за другой по очереди и при этом фиксировали суждения детей.

Стадии развития

На первой стадии ребенок иногда высказывал удивление по поводу появ­ления одних только крестов, но не считал это чем-то невозможным с точ­ки зрения вероятности. Даже после того как ему показывали «фокус», он продолжал считать, что мог бы достичь такого результата без всякой под­мены фишек. При этом были отмечены три типа ответов. Первый тип можно назвать «феноменологическим»: ребенок думает, что «если ты не видел их, то и сказать нельзя». Здесь любое явление рассматривается как совершенно естественное, ребенок еще не различает видимое и действи­тельное положение вещей. Поэтому настоящих чудес нет, есть только но­вые факты. Фокус с фишками представляется им вполне естественным явлением, хотя и занятным ввиду своей чрезвычайной редкости. Как объ­яснил один ребенок, «они поворачиваются верхней стороной».

Второй тип ответов, по сути, носит компенсаторный характер. Ребе­нок как бы стоит на полпути между тем, что диктует чувство справедливо­сти, и пониманием действительных причин, управляющих ситуацией. Он думает, что «в следующий раз будет больше крестов, поскольку перед этим было больше кругов».

271

Третий тип ответов относится к области «личной власти человека». Как сказал один ребенок: «Этот фокус вы делаете своими руками. Вы их так кидаете». Он думает, что и сам способен повторить этот фокус без всякой подмены фишек. Наблюдая за перемешиванием фишек и их вра­щением во время броска, ребенок говорит: «Они вращаются и падают», но при этом продолжает считать, что для того, чтобы выпадали одни толь­ко кресты, просто нужно бросать фишки каким-то особым образом.

Вторая стадия характеризуется появлением у детей понятия о случай­ности, притом что у них еще отсутствует представление об определенной частотности событий при большом числе последовательных испытаний. Наиболее показательным фактом является отказ признать чудо. Мы спрашиваем: «Как они упадут?» «Лицом вверх или вниз», – отвечает ребенок, а когда в ход идут подмененные фишки, то, задумавшись на се­кунду, сразу же обнаруживает, что «кресты на обеих сторонах». «Может такое быть с другими фишками?» «Нет, потому что они падают то на одну сторону, то на другую, они не могут все упасть на одну и ту же сторону, по­скольку они вращаются во время броска». Или такой диалог: «Может ли так быть, чтобы фишки падали только на одну сторону, с крестами?» «Нет, потому что их много и они слишком хорошо перемешаны». Однако дети все еще отказываются оценивать относительную частоту выпадения крестов и кругов с точки зрения вероятности этих событий, при этом они уверены в том, что для того чтобы узнать, не подстроен ли в игре трюк, сотня бросков не более показательна, чем всего лишь десяток.

Верная оценка вероятности характеризует третью стадию. Как сказал ребенок 12 лет: «Для одной фишки случай является решающим факто­ром. Но чем их больше, тем больше вероятность, что можно узнать, пере­мешаны ли они». «В обычных играх, где фишек много, половина падает на одну сторону и половина – на другую».

В конце концов, ребенок начинает так рассуждать о том, как обнару­жить мошенничество в игре: «Если продолжать бросать фишки, то мож­но узнать точно. Чтобы пять фишек выпали крестом вверх, необходимо, предположим, сделать 25 бросков, тогда как чтобы выпали 6 фишек – уже 40 бросков, а чтобы выпало подряд 7 фишек с крестами – это про­сто невозможно». Как ни произвольны эти оценки, они прекрасно пока­зывают, что ребенок существенно приближается к пониманию вероятно­сти как функции многократных испытаний. Наиболее вероятный резуль­тат выпадения крестов и кругов – половина на половину, и такое соотно­шение становится все более вероятным по мере увеличения количества бросков (тот же ребенок думает, что полную уверенность дает миллион бросков). Точно так же ребенок понимает, что наименее вероятна такая ситуация, когда выпадают только кресты или только круги, и такая ситуа- -ция становится все менее вероятной по мере роста числа бросков.

272

Случайный выбор пар

Проблема

Исчисление вероятностей случайных выборов основывается на комбина­торных операциях, а в некоторых случаях – на результатах сочетаний и перестановок:

Метод

Ребенку показывали 40 шариков (20 красных и 20 синих), которые затем на его глазах помещали в мешочек. После этого его просили несколько раз подряд вытягивать по два шарика одновременно. Нас интересовало, в частности, поймет ли ребенок, что наиболее вероятное распределение пар будет таким: 5 красных пар, 5 синих пар, 10 смешанных пар, что соот­ветствует закону распределения: а-а, а-b, b-а, b-b. Другими словами, имеется ли у него некоторое интуитивное представление о вероятности в духе закона Менделя?

Стадии развития

Общее направление, в котором происходит развитие представлений де­тей о вероятности событий, может быть охарактеризовано следующим образом: на первой стадии ребенок не предвидит появления смешанных пар и отказывается дать оценку частоте их распределения. «Я ничего не знаю; наверное, шарики будут оба красные или синие». «Какие появятся раньше?» Ребенок отвечает: «Возможно, красные, потому что они не так перемешаны». Но после выбора нескольких пар шариков он изменяет свое мнение: теперь он думает, что «красные и синие вместе появляются быстрее, потому, что фигурки перемешаны лучше». «А что если мы опять начнем все сначала? Будет ли у нас поровну синих и красных пар шариков и таких пар, где цвета шариков разные, или будет больше пар какого-то одного цвета?» Ребенок отвечает: «Трудно сказать, это дело случая, мо­жет быть, их будет и поровну».

На второй стадии дети достаточно уверенно предсказывают появление всех трех типов пар, но только на третьей стадии – уже в подростковом возрасте – считают, что смешанных пар больше, чем пар одного цвета. Когда экспериментатор спрашивает: «А что будет, если мы будем играть много-много раз?», он думает, что выпадет 10 смешанных пар шариков, 5 красных пар и 5 синих. На этой стадии развития дети способны соста­вить таблицу, показывающую все возможные сочетания по два.

274

Исчисление вероятности

Проблема

Наблюдаемый у детей прогресс в понимании случайности и вероятности зависит как от способности ребенка совершать комбинаторные операции, так и от постепенно растущей у него способности устанавливать связь между отдельным конкретным событием (испытанием) и ожидае­мым общим распределением событий. Установление такой связи само по себе требует выполнения логических операций (операции включения в класс и дизъюнкции) и математических вычислений. Следовательно, принципиальное значение имеет изучение этих основных операций. С этой целью мы разработали игру в лотерею.

Метод

Имелось два набора белых фишек, причем у некоторых из них на обрат­ной стороне был нарисован крест. Ребенок исследовал состав каждого набора: кресты означали то, что называют благоприятным исходом, в то время как общее число фишек в каждом наборе составляло число воз­можных исходов. Оба набора фишек затем выкладывались на стол, и ре­бенка спрашивали, в каком из двух наборов вероятность выбрать крест с первой попытки больше. Наборы составлялись по-разному: одинаковое количество благоприятных и возможных исходов в каждом наборе; одина­ковое число благоприятных исходов при разном числе возможных исхо­дов в каждом наборе; разное количество благоприятных при одном и том же числе возможных исходов и т.д.

В упрощенном виде вопрос об установлении ребенком соотношения между благоприятными и возможными исходами можно рассмотреть на таком примере: в закрытых ладонях перемешаны две черных и одна белая фишка, спрашивается, фишка какого цвета будет выбрана с большей ве­роятностью?

Стадии развития

В отношении первой стадии отметим лишь одно интересное обстоятель­ство: дети полагают, что чаще других будет выпадать единственная белая фишка (из имеющихся трех). Это объясняется, по-видимому, отсутствием у детей понимания логических отношений между частью и целым. Дети неспособны выполнить операцию сложения двух подклассов: А + А' = В. При этом они никогда не говорят, что В может быть А или А' и что А' бо­лее вероятно в этом случае, поскольку здесь на два элемента А' приходит-

274

ся только один элемент Л. Вполне очевидно, что на этой стадии не может быть вероятностного мышления, поскольку ребенок еще не улавливает связи между благоприятными и возможными исходами.

Однако на второй стадии дети начинают овладевать исчислением этих вероятностей благодаря пониманию отношений между операциями вклю­чения и дизъюнкции. Ребенок понимает, что если неизвестное х = В, то оно может быть либо А, либо А', при этом вероятность, что это А, такая же, как и вероятность А'. Операция дизъюнкции, таким образом, откры­вает зависимость исчисления вероятности от основных логических опера­ций. В итоге на третьей стадии подросток способен установить связь между благоприятными исходами и общим числом возможных исходов и с этого момента интерпретирует вероятность как степень рационального ожидания, которая может быть вычислена математически.

Представления о случайных событиях у детей-психотиков

Мы полагали интересным исследовать группу детей-психотиков в возрас­те от 10 до 15 лет, находящихся на разных уровнях операционального раз­вития. Хорошо известно, что мыслительные процессы у таких детей нару­шены в более или менее серьезной степени. Все эти дети, даже те из них, которые все еще сохраняют достаточно высокий интеллект, обнаружива­ют неспособность к пониманию случайных явлений и отказываются мыс­лить в терминах вероятности. Они рассматривают все события так, как если бы вселенная была совершенно рациональна и предсказуема или как если бы все в ней управлялось магическими силами. Например, в экспе­рименте с магнитным диском один мальчик 13 лет, типичный для этой ка­тегории больных, но очень одаренный и интеллектуально ориентирован­ный, сказал, несмотря на свои неоднократные безуспешные попытки пре­дугадать положение диска: «Он всегда будет останавливаться на одном и том же цвете, у вас легко эти получится, если вы будете вращать его паль­цами с определенной скоростью; если скорость не та, пробуйте еще раз. Здесь почти всегда действует одна и та же тормозящая сила, из-за кото­рой он останавливается в том же месте, только вам нужно запускать диск с одного и того же места». Когда я возразила, что этой точности очень сложно достичь пальцами, он продолжал настаивать: «А вы начинайте учиться, и если вы однажды попадете на красную, то вы всегда будете попадать туда же... это зависит от того, что вы хотите». Поскольку физи­ческая действительность оказывает сопротивление и не может быть по­догнана под однозначные причинно-следственные связи, дети-психотики отказываются предсказывать или оценивать события с точки зрения их вероятности. Мы уже видели, что у них отсутствует способность выпол­нять основные логические и математические операции. Ребенок-психо-

275

тик не может рассматривать явления как случайные, поскольку он видит за ними действие скрытых причин или вмешательство извне – результат своего рода фокусов. Он смотрит на мир сквозь призму анимистических представлений, и его мышление часто обнаруживает формы примитивно­го «адуализма». Основная причина этого, по-видимому, заключена, с од­ной стороны, в систематическом приписывании значений всему на свете, а с другой – в ощущении, что его собственные мыслительные возможно­сти безграничны. Таким образом, у него есть два основания, чтобы отказа­ться признать что-то, что находится за пределами его понимания, и свести к минимуму фактор случайности, вносящий разлад в его мысли и чувства.

Выводы

Наши психологические эксперименты, которые представлены здесь лишь несколькими примерами, не оставляют сомнения в том, что первые пред­ставления о случайности, еще весьма существенно ограниченные контек­стом, появляются у детей лишь к 6-7 годам и зависят от овладения конк­ретными логическими операциями. Более того, возможно, именно позд­нее появление операций и объясняет постепенный, длительный характер формирования способности к пониманию случайности и вероятности. Для интерпретации этих результатов мы должны рассмотреть их в рамках более широкой системы – в контексте наших знаний о развитии у детей умственных операций.

Логические и математические операции представляют собой структу­рированные системы взаимосвязанных умственных действий, обеспечи­вающих в результате общую обратимость и способность к строгой дедук­ции. Тем не менее, там, где наиболее вероятное сочетание действующих сил благоприятствует случайным событиям, каждое отдельное событие необратимо. Между этими крайностями мы можем видеть индуктивные способы рассуждения ребенка, который все наблюдаемые события пыта­ется рассортировать на случайные и поддающиеся логическому выведе­нию (deducible).

В течение первого периода (примерно с 4 до 7 лет) в мышлении ребен­ка не разделяются возможные и необходимые события, мышление здесь развивается в сфере непосредственной деятельности ребенка, оставаясь таким же далеким от понятия случайности, как и от операциональной де­дукции. На самом деле, мышление ребенка часто колеблется между пред­сказуемым и непредсказуемым, но ничто не может быть в принципе пред­сказуемым и непредсказуемым. Таким образом, можно сказать, что имен­но отсутствие некой «системы координат», основу которой образуют по­следовательности дедуктивных операций, и препятствует пониманию ис­тинной природы случайных событий ребенком, находящимся на этой ста-

276

дии. Наиболее поразительный факт, безусловно, заключается в тех трудностях, которые испытывают дети в понимании необратимости случайно­го хода процесса перемешивания элементов (в каждый конкретный мо­мент), когда, в их мыслительных процессах продолжает доминировать дооперациональная необратимость (неготовность мысленно вернуться к исходному состоянию преобразования и учесть его в анализе наблюдае­мой картины). Именно отсутствие такой системы операций и объясняет, почему ребенок на первой стадии не может понять необратимость, внут­ренне свойственную случайным событиям.

Также из-за отсутствия операционального мышления ребенок (подоб­но некоторым из своих исторических предшественников) воспринимает чудеса в порядке вещей. Это происходит потому, что он не может связать какое-либо редкое событие, имеющее малую вероятность, как с естест­венными закономерностями его появления, так и с его случайными коле­баниями.

В течение второго периода (примерно с 7 до 11 лет) ребенок открыва­ет случайные события в их самой наивной форме – как непредсказуе­мые, в противоположность таким событиям, которые определенным об­разом детерминированы и которые можно предвидеть на основе логиче­ских операций. Это открытие происходит вместе с развитием и вступле­нием в действие конкретных операций, связанных с классификацией, установлением отношений, освоением натуральных чисел, а также с при­чинными и пространственно-временными отношениями. Как следствие, ребенок реагирует весьма скептически: «Нельзя сказать, произойдет то или это». В этот период дети начинают осознавать случайность как про­тивоположность логической (дедуктивной) необходимости, так как они теперь владеют способностью дедуктивно рассуждать и поэтому могут за­метить разницу между тем, что следует логически, а что нет.

В течение третьего периода, когда появляются формальные и, в част­ности, комбинаторные операции, подросток приобретает способность оценивать общее число возможностей и осознавать отношения между благоприятными случаями и всей совокупностью, рассматриваемой как сумма сочетаний всех возможных случаев. Оценивание вероятности, та­ким образом, является результатом сравнения совместимых обратимых событий, с одной стороны, и необратимых случайных событий, с другой, в то время как лишь малая часть универсума возможных событий реализу­ется в действительности.

Открытие случайного распределения как функции «большого числа испытаний» в психологическом плане образует подлинную основу пони­мания вероятности. На предшествующей (второй) стадии ребенок мыс­лит только частными событиями и ведет себя так, как если бы он неволь­но следовал высказыванию Дж.Бертрана: «Случай не имеет ни совести,

277

ни памяти». Позднее он начинает вести себя в соответствии с иным прин­ципом: «Частота события стремится к его вероятности», Таким образом, именно в рамках операциональной системы развиваются представления о случайности и вероятностное мышление. Умственные операции посте­пенно достигают той степени развития, которая необходима для понима­ния случайных событий.

Я надеюсь, что наше исследование может помочь пролить свет на пси­хологические механизмы развития наиболее элементарных форм вероят­ностного мышления.

ЛИТЕРАТУРА

Piaget ]., Inhelder В. La génèse de l'idée du hasard chez I'enfant. Paris, 1951.

278