14.3 Дифференцирующий фильтр

Введем в систему 14.1 дифференцирующий фильтр.

μ

Рис. 14.2 Схема системы с ПИД – регулятором и дифференцирующим фильтром

Дифференцирующий фильтр должен быть не ниже второго порядка для того, чтобы подавлять сверх высокочастотные помехи.

Поскольку в используемом законе управления есть старшая производная, то инерционность фильтра попадает в контур локализации, то есть в быстрые движения. Чтобы увидеть контур локализации, нужно проанализировать уравнение относительно u. Рассмотрим операторное уравнение относительно u для вывода характеристического уравнения быстрых движений.

= , так как они являются медленными процессами.

Умножим выражение (14.15) на .

, так как это медленный процесс.

В итоге получает характеристическое уравнение быстрых движений:

15. Метод малого параметра

Малой называется величина, значение которой можно сделать как угодно малой, то есть её значение незаметно по сравнению с другими параметрами.

Однако в динамических системах как угодно малая величина может качественно влиять на поведение системы.

Найдем условия, при которых действительно можно пренебречь малым значением.

Пусть уравнение системы имеет следующий вид:

где μ – относительно малая величина, которой хочется пренебречь; .

При μ = 0 из (15.1) получаем вырожденную систему

В таком случае о предположительно малой величине можно говорить, если в рабочей области пространства состояний.

Предположим, что решение систем (15.1) и (15.2) имеет вид, изображенный на рис. 15.1, x₁ и x₂ – решение систем (15.1) и (15.2) соответственно.

Рис. 15.1 Примерный вид решений систем (15.1) и (15.2)

На рис. 15.1 и она непрерывно зависит от параметра μ.

Предполагается, что в любой момент времени t и при t→∞, ∆ небольшая. На практике даже при малом значении μ при t→∞.

Утверждение. Если вырожденная система (15.2) экспоненциально устойчива, то разница между двумя решениями стремится к нулю при t→∞.

Экспоненциальная устойчивость системы означает, что переходный процесс имеет конечную длительность, то есть заканчивается к каком-то моменту времени.

Асимптотическая устойчивость системы означает, что переходный процесс устанавливается когда-то в асимптотике.

Утверждение доказывается с помощью второго метода Ляпунова.

Вывод: пренебречь малым значением μ можно при условии, что вырожденная система (15.2) экспоненциально устойчива.

16. Метод разделения движений

Идея метода: пренебрежение малым параметром, но только по отношению к малым инерционностям в системе.

Рассмотрим следующую систему уравнений:

где , μ – малый параметр, .

Изобразим приблизительный фазовый портрет системы (16.1).

Пограничный слой

𝜑(x,y)=0

Рис. 16.1 Фазовый портрет системы (16.1)

Фазовый портрет на рис. 16.1 имеет два участка переходных процессов.

Участок 1 (красные линии) – участок быстрых движений, где при μ→0.

На этом участке изображающая точка быстро очерчивает траекторию движения до пограничного слоя.

Пограничный слой возникает вокруг поверхности . В нем векторы скорости и становятся соизмеримыми. Чем меньше значение μ, тем меньше толщина пограничного слоя.

Участок 2 (зеленые линии) – участок медленных движений.

На этом участке изображающая точка движется вдоль поверхности . Для оценки скорости вдоль поверхности используется следующее выражение:

Продифференцируем выражение (16.2) по t.

Выразим из уравнения (16.3) при условии, что :

Подставим (16.1) в (16.4).

В итоге из уравнения (16.5) можно сделать вывод: при движении изображающей точки вдоль поверхности векторы и соизмеримы.

На участке 2 уравнение движения можно упростить. По теореме об обращении неявных функций: если , то . Теперь подставим это выражение в первое уравнение (16.1).

Уравнение (16.6) справедливо только для поверхности .

Получим уравнение для быстрого участка процесса. Для этого введем новое время , где t – старое время. То есть «замедлим» быстрые движения. Теперь применим новое время к системе уравнений (16.1) при условии, что

Тогда получим новую систему уравнений:

Если μ→0, то система уравнений (16.7) примет вид

Перейдем теперь обратно к старому времени t.

Уравнение (16.8) – автономное уравнение или уравнение быстрых движений. Оно описывает участок 1 переходного процесса, при этом у должен стремиться к поверхности .

Основное утверждение метода разделения движений.

Если системы быстрых движений экспоненциально устойчива, то при достаточно малом значении параметра μ пограничный слой вокруг поверхности будет как угодно тонким (малым).

Только при этом условии можно пренебречь малыми инерцонностями, то есть быстрыми движениями. Если быстрые процессы неустойчивы, то их предварительно необходимо стабилизировать.

В

Re λ

линейных системах не трудно оценить возможность отделения быстрых движений от медленных. Для этого достаточно вычислить значения корней. Корни дают моды (порциальные составляющие движений). Распределение корней при наличии быстрых и медленных движений показано на рис. 16.2.

Im λ

Рис. 16.2 Распределение корней при наличии разнотемповых процессов

На рис. 16.2 медленные корни (зеленые) будут располагаться около начала координат, а быстрые (красные) – на периферии.

В отличие от линейных, в нелинейных системах трудно обнаружить наличие быстрых процессов. Признаком наличия быстрых движений являются пренебрежительно малые постоянные времени и большие коэффициенты.

Пример:

Система уравнений с малым параметром при части производных:

Система уравнений с большим коэффициентом: