13. Системы с реальным фильтром
Рассмотрим свойства системы с реальным дифференцирующим фильтром на рис. 13.1
μ
Рис. 13.1 Физическая схема системы с реальным дифференцированием (i=0,1,…,n)
В реальной схеме на рис. 13.1 не видно контура локализации. Чтобы увидеть этот контур необходимо в схеме «расщепить» фильтр на параллельные каналы и выделить канал со старшей производной.
μ
μ
Рис. 13.2 Расчетная схема системы с реальным дифференцированием
В расчетной схеме 13.2 имеет место контур локализации. Поскольку этот контур быстрей рабочих процессов в системе, то его можно рассчитывать отдельно от всей системы.
μ
Рис. 13.3 Контур локализации
Контур на рис. 13.3 является линейным с нестационарным коэффициентом b. Его динамика определяется фильтрующим полиномом , коэффициентом k в некоторых случаях переменным коэффициентом b. Синтез (коррекцию) этого контура можно производить обычными линейными методами. Наиболее подходящий для этой цели – модальный метод.
Характеристическое уравнение контура быстрых движений на рис. 13.3 имеет вид
В реальных нелинейных системах расчет сводится к решению трех линейных задач:
1. Подбор линейного эталонного уравнения;
2. Подбор линейного дифференцирующего фильтра;
3. Коррекция линейного контура быстрых движений.
14. ПД – регулятор для нелинейного объекта
14.1 ПД – регулятор
В настоящее время все способы настройки ПД – регулятора предполагают, что объект линейный. Но можно показать, что и для нелинейного объекта первого порядка ПД – регулятор (и тем более ПИД - регулятор) полностью решает задачу подавления возмущений.
Рассмотрим пример и ПД – регулятором.
Имеем нелинейный, нестационарный объект первого порядка:
Необходимо,
чтобы замкнутая система соответствовала
эталонному характеристическому уравнению
Закон
управления:
.
Смысл
в том, что если
,
то выражение (14.1) преобразуется следующим
образом:
Разделим обе части уравнения (14.2) на bk.
При bk→∞ уравнение (14.3) вырождается в следующее:
Таким
образом, из уравнения (14.5) видно, что при
большом коэффициенте усиления k
ПД – регулятор в обычной системе для
нелинейного, нестационарного объекта
идеально решает задачу управления.
Характеристическое уравнение системы
в таком случае
Недостаток:
1) В данной системе ПД – регулятор не может отработать скачкообразное изменение входа, так как для этого потребуется бесконечное управление.
Чтобы исключить этот недостаток, необходимо переставить форсирующее звено в обратную связь. Тогда закон управления будет иметь вид
Преобразуем уравнение (14.1) в соответствии с новым законом управления.
Разделим обе части уравнения (14.6) на bk.
При bk→∞ уравнение (14.7) вырождается в следующее:
Таким образом, из уравнения (14.8) видно, что недостаток устранен, и данная система может отработать ступенчатое изменение выходного сигнала v. При увеличении коэффициента усиления k происходит подавление нелинейностей и нестационарностей. Однако в таком случае увеличивается влияние помех.
14.2 ПИД – регулятор
Рассмотрим полный ПИД – регулятор для нелинейного объекта первого порядка вида (14.1). Разделим ПИД – регулятор на два: регулятор статики и регулятор динамики.
Рис. 14.1 Схема системы с ПИД – регулятором
В
схеме на рис. 14.1
– регулятор статики, который устраняет
статическую ошибку, k
– коэффициент, позволяющий подавить
возмущения,
– форсирующее звено, с
– задаваемая инерционность форсирующего
звена.
При достаточно больших значениях коэффициента усиления k параметры ki и c полностью определяют динамику системы. Обоснуем это высказывание математически.
Закону управления для системы (14.1) имеет вид:
Преобразуем уравнение (14.1) в соответствии с законом управления (14.9).
Разделим обе части уравнения (14.10) на bk.
При bk→∞ уравнение (14.10) вырождается в следующее:
Продифференцируем уравнение (14.11) (то есть умножим всё на р).
Если
,
разделим уравнение (14.12) на
Получили
дифференциальное уравнение второго
порядка (14.13). Стандартный вид уравнения
для системы второго порядка следующий:
.
Тогда для выражения (14.13) имеем систему (14.14), состоящую из двух уравнений я двумя неизвестными:
Пример:
Зададим T
и d
и найдем с
и
Пусть
T=1
сек,
d=0,5.
Тогда
,
с=1.